1.【答案】4.
【解析】分两种情况进行讨论:
①当OA为等腰三角形的腰时,以O为圆心、以OA为半径的圆弧与y轴有两个交点,以A为圆心、以OA为半径的圆弧与y轴有一个交点.
②当OA为等腰三角形的底时,作线段OA的垂直平分线,与y轴有一个交点.
故符合条件的点一共4个.
2.【答案】△ABC三条角平分线的交点.
【解析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等,所以根据角平分线上的点到边的距离相等,可知是△ABC三条角平分线的交点,由此即可确定凉亭位置为△ABC三条角平分线的交点.
3.【答案】32.
【解析】已知AB = 12,BC = 14,CD =18,DA=24.
①选12+14、18、24作为三角形的边长,则三边长为26、18、24.而26-24<18<26+24,能构成三角形,此时两个端点间的最长距离为26.
②选12、14+18、24作为三角形的边长,则三边长为12、32、24.而32-24<12<32+24,能构成三角形,此时两个端点间的最长距离为32.
③选12、14、18+24作为三角形的边长,则三边长为12、14、42.而12<42-14,不能构成三角形.
故答案为32.
4.【答案】20°或40°.
【解析】如答图1-1所示,因为AD=BD,∠B=30°,所以∠ADC=60°.由于DE=CE,可设∠C=∠EDC=α,则∠ADE=60°-α,∠AED=2α,根据三角形内角和定理可得,∠DAE=120°-α,分三种情况:
①当AE=AD时,有60°-α=2α,解得α=20°.
②当DA=DE时,有120°-α=2α,解得α=40°.
③当EA=ED时,有120°-α=60°-α,方程无解.
综上所述,∠C的值是20°或40°.
答图1-1
5.【答案】4.
【解析】设三角形三边分别为a、b、c且a≥b≥c,a+b+c=20,则a≥7.又由b+c>a,则2a<20,a<10,因此7≤a≤9,可列出(a,b,c)的可能值:(9,9,2),(9,8,3),(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中等腰三角形有(9,9,2),(8,8,4),(8,6,6),(7,7,6),共4个.
6.【答案】1.
【解析】如答图1-2所示,连接CF.
答图1-2
因为△ABC是等腰直角三角形,
所以∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB.
又因为AD =CE,所以△ADF≌ △CEF(SAS),所以EF=DF,∠CFE=∠AFD.
因为∠AFD + ∠CFD =90°,所以∠CFE +∠CFD=∠EFD=90°,所以△EDF是等腰直角三角形,故①正确.
当D、E分别为AC、BC的中点时,四边形CDFE是正方形,故②错误.
由于△EDF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小,即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
BC=4.所以DE=
DF=
,故③错误.
因为△ADF≌△CEF,所以CE=AD,根据题意可求
所以
,又AC =8,所以CE=
,故④错误.
7.【答案】24.
【解析】设经过xs后P与Q第一次相遇,
依题意得:1.5x=x+2×6,解得x=24.
此时P运动了24×1=24(cm).
又因为△ABC的周长为16cm,24=16+8,所以点P、Q在AC边上相遇,即经过了24s,点P与点Q第一次在AC边上相遇。故答案为24.
8.【答案】
.
【解析】在图中标上字母E,如答图1-3所示.
答图1-3
因为正方形ABCD的边长为1,△CDE为等腰直角三角形,所以DE
2
+CE
2
=CD
2
,DE=CE,所以S
2
+S
2
=S
1
.通过观察发现规律:S
1
=1
2
=1,S
2
=
S
1
=
,S
3
=
,……,所以S
n
=
.
当n=9时,S
9
=
=
.
9.【答案】①②⑤.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AD=BC.所以∠EAD=∠AEB.
又因为AE平分∠BAD,所以∠BAE=∠DAE.所以∠BAE=∠BEA,所以AB=BE.
又因为AB=AE,所以△ABE是等边三角形,故②正确.
所以∠ABE=∠EAD=60°.
因为AB=AE,BC=AD,所以△ABC≌△EAD(SAS),故①正确.
因为△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等),所以S △ FCD =S △ ABC ,又因为△AEC与△DEC同底等高,所以S △ AEC =S △ DEC ,所以S △ ABE =S △ CEF ,故⑤正确.
若AD与AF相等,即∠AFD=∠ADF =∠DEC,即EC=CD=BE,即BC=2CD,题中未限定这一条件,所以③④不一定正确.
故答案为①②⑤.
评注 此题考查了平行四边形的性质等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.
10.【答案】15°.
【解析】如答图1-4所示,因为BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∠A=60°,所以∠DBC =
∠ABC,∠DCB=
∠ACB,所以∠DBC +∠DCB
(∠ABC + ∠ACB)=
(180°-∠A)=
(180°-60°)=60°.
所以∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°.
答图1-4
因为BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,所以∠5+∠6=
∠MBC,∠1=
∠NCB,所以∠5+∠6+ ∠1=
(∠MBC+ ∠NCB)=150°,∠E=180°-(∠5+∠6+∠1)=180°-150°=30°.
因为BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ,所以∠5=∠6,∠2=∠3+∠4,因为∠3+∠4=∠5+∠F,∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E,即∠2= ∠5+∠F,2∠2=2∠5+∠E,所以2∠F=∠E,则∠F=
∠E=
×30°=15°.
故答案为15°.
11.【答案】12.
【解析】设AH =a,AE=b,EH =c,则c=2,故有S 1 +S 2 +S 3 =(a+b) 2 +c 2 +(a-b) 2 =2(a 2 +b 2 )+c 2 =3c 2 =3×2 2 =12.
12.【答案】
cm/s或
cm/s.
【解析】设P点运动的速度是xcm/s,Q点运动的速度是ycm/s.
根据题意得
解得
故P点运动的速度是
cm/s或
cm/s.
13.【答案】100或130或160.
【解析】由旋转的性质得:BD=AB=BC.
因为△ADC是等腰三角形,所以分三种情况:
①当DA=DC时,∠ABD=∠DBC=
(360°-∠ABC)=130°,所以m=130.
②当AD=AC时,∠ABD=∠ABC=100°,所以m=100.
③当CA=CD时,∠CBD=∠ABC=100°,所以∠ABD=360°-100°-100°= 160°,所以m=160.
综上所述,m的所有可能的取值是 100 或 130或160.
14.【答案】
.
【解析】如答图 1-5 所示,作A 2 D 1 ⊥A 1 B 1 于D 1 ,A 3 D 2 ⊥A 2 B 2 于D 2.
答图1-5
因为△A
1
B
1
C
1
是边长为1的等边三角形,A
2
为等边△A
1
B
1
C
1
的中心,所以∠A
2
B
1
D
1
=30°,B
1
D
1
=
A
1
B
1
=
,所以
=
,则A
2
B
1
=
.
因为A
2
B
1
=B
1
B
2
,所以A
2
B
2
=
.
同理可得,∠A
3
B
2
D
2
=30°,B
2
D
2
=
A
2
B
2
=
×
=
,所以
=
则A
3
B
2
=
.
因为A
3
B
2
=B
2
B
3
,所以A
3
B
3
=
=
,同理可得,A
4
B
4 =
,A
5
B
5
=
,A
6
B
6
=
.
故答案为
.
15.【答案】21.
【解析】如答图1-6所示,图中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线.
原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线,这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形.
原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形.
故共得21个菱形.
答图1-6