第1讲
三角形的概念

一、填空题(每题5分，共50分)

1.【答案】4.

【解析】分两种情况进行讨论:

①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心、以OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心、以OA为半径的圆弧与y轴有一个交点.

②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点.

故符合条件的点一共4个.

2.【答案】△ABC三条角平分线的交点.

【解析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点，由此即可确定凉亭位置为△ABC三条角平分线的交点.

3.【答案】32.

【解析】已知AB = 12,BC = 14,CD =18,DA=24.

①选12+14、18、24作为三角形的边长，则三边长为26、18、24.而26-24<18<26+24,能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为26.

②选12、14+18、24作为三角形的边长，则三边长为12、32、24.而32-24<12<32+24,能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为32.

③选12、14、18+24作为三角形的边长，则三边长为12、14、42.而12<42-14,不能构成三角形.

故答案为32.

4.【答案】20°或40°.

【解析】如答图1-1所示，因为AD=BD,∠B=30°,所以∠ADC=60°.由于DE=CE,可设∠C=∠EDC=α,则∠ADE=60°-α,∠AED=2α,根据三角形内角和定理可得,∠DAE=120°-α,分三种情况:

①当AE=AD时，有60°-α=2α,解得α=20°.

②当DA=DE时，有120°-α=2α,解得α=40°.

③当EA=ED时，有120°-α=60°-α,方程无解.

综上所述,∠C的值是20°或40°.

5.【答案】4.

【解析】设三角形三边分别为a、b、c且a≥b≥c,a+b+c=20,则a≥7.又由b+c>a,则2a<20,a<10,因此7≤a≤9,可列出(a,b,c)的可能值:(9,9,2),(9,8,3),(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6),其中等腰三角形有(9,9,2),(8,8,4),(8,6,6),(7,7,6),共4个.

6.【答案】1.

【解析】如答图1-2所示，连接CF.

因为△ABC是等腰直角三角形,

所以∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB.

又因为AD =CE,所以△ADF≌ △CEF(SAS),所以EF=DF,∠CFE=∠AFD.

因为∠AFD + ∠CFD =90°,所以∠CFE +∠CFD=∠EFD=90°,所以△EDF是等腰直角三角形，故①正确.

当D、E分别为AC、BC的中点时，四边形CDFE是正方形，故②错误.

由于△EDF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4.所以DE= DF= ，故③错误.

因为△ADF≌△CEF，所以CE=AD，根据题意可求 所以 ，又AC =8，所以CE= ，故④错误.

7.【答案】24.

【解析】设经过xs后P与Q第一次相遇，

依题意得：1.5x=x+2×6，解得x=24.

此时P运动了24×1=24（cm）.

又因为△ABC的周长为16cm，24=16+8，所以点P、Q在AC边上相遇，即经过了24s，点P与点Q第一次在AC边上相遇。故答案为24.

8.【答案】 .

【解析】在图中标上字母E，如答图1-3所示.

因为正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，所以DE ² +CE ² =CD ² ，DE=CE，所以S ₂ +S ₂ =S ₁ .通过观察发现规律：S ₁ =1 ² =1，S ₂ = S ₁ = ，S ₃ = ，……，所以S _n = .

当n=9时，S ₉ = = .

9.【答案】①②⑤.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD=BC.所以∠EAD=∠AEB.

又因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE.所以∠BAE=∠BEA，所以AB=BE.

又因为AB=AE，所以△ABE是等边三角形，故②正确.

所以∠ABE=∠EAD=60°.

因为AB=AE，BC=AD，所以△ABC≌△EAD（SAS），故①正确.

因为△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），所以S _{△ FCD} =S _{△ ABC} ，又因为△AEC与△DEC同底等高，所以S _{△ AEC} =S _{△ DEC} ，所以S _{△ ABE} =S _{△ CEF} ，故⑤正确.

若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF =∠DEC，即EC=CD=BE，即BC=2CD，题中未限定这一条件，所以③④不一定正确.

故答案为①②⑤.

评注 此题考查了平行四边形的性质等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.

10.【答案】15°.

【解析】如答图1-4所示，因为BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，所以∠DBC = ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，所以∠DBC +∠DCB （∠ABC + ∠ACB）= （180°-∠A）= （180°-60°）=60°.

所以∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°.

因为BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，所以∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，所以∠5+∠6+ ∠1= （∠MBC+ ∠NCB）=150°，∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°.

因为BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，所以∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，因为∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2= ∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，所以2∠F=∠E，则∠F= ∠E= ×30°=15°.

故答案为15°.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.【答案】12.

【解析】设AH =a，AE=b，EH =c，则c=2，故有S ₁ +S ₂ +S ₃ =（a+b） ² +c ² +（a-b） ² =2（a ² +b ² ）+c ² =3c ² =3×2 ² =12.

12.【答案】 cm/s或 cm/s.

【解析】设P点运动的速度是xcm/s，Q点运动的速度是ycm/s.

根据题意得

解得

故P点运动的速度是 cm/s或 cm/s.

13.【答案】100或130或160.

【解析】由旋转的性质得：BD=AB=BC.

因为△ADC是等腰三角形，所以分三种情况：

①当DA=DC时，∠ABD=∠DBC= （360°-∠ABC）=130°，所以m=130.

②当AD=AC时，∠ABD=∠ABC=100°，所以m=100.

③当CA=CD时，∠CBD=∠ABC=100°，所以∠ABD=360°-100°-100°= 160°，所以m=160.

综上所述，m的所有可能的取值是 100 或 130或160.

14.【答案】 .

【解析】如答图 1-5 所示，作A ₂ D ₁ ⊥A ₁ B ₁ 于D ₁ ，A ₃ D ₂ ⊥A ₂ B ₂ 于D _2.

因为△A ₁ B ₁ C ₁ 是边长为1的等边三角形，A ₂ 为等边△A ₁ B ₁ C ₁ 的中心，所以∠A ₂ B ₁ D ₁ =30°，B ₁ D ₁ = A ₁ B ₁ = ，所以 = ，则A ₂ B ₁ = .

因为A ₂ B ₁ =B ₁ B ₂ ，所以A ₂ B ₂ = .

同理可得，∠A ₃ B ₂ D ₂ =30°，B ₂ D ₂ = A ₂ B ₂ = × = ，所以 = 则A ₃ B ₂ = .

因为A ₃ B ₂ =B ₂ B ₃ ，所以A ₃ B ₃ = = ，同理可得，A ₄ B _{4 =} ，A ₅ B ₅ = ，A ₆ B ₆ = .

故答案为 .

15.【答案】21.

【解析】如答图1-6所示，图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线.

原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线，这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形.

原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形.

故共得21个菱形.