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1.如图24-1所示，一根长2a的梯子AB,斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，设梯子的中点为P.若梯子A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。在梯子滑动的过程中,△AOB面积的最大值是___.
2.如图24-2所示，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点P是边AB上的一个动点,PE ⊥ AC且PF ⊥ BD,垂足分别是E和F,若AB =4,且AD =3,则PE +PF =___.
3.有800名乒乓球选手参加淘汰赛，每场比赛有两名选手参加，胜者继续进行下一场比赛，败者淘汰出局，那么需要进行___场比赛才能决出冠军.
4.如图24-3所示,E、F是矩形ABCD的边AB延长线上两点，且四边形CDEF为平行四边形.G是BC与DE的交点，则S 四边形CGEF __S 四边形BGDA .(填“>”“<”或“=”)
图24-1
图24-2
图24-3
5.在1,2,3,…,2021之间填上“+”号或者“-”号，那么所得和式可以得到的最小非负数是___.
6.老师取了1,2,…,9的一个排列a 1 ,a 2 ,…,a 9 ,五名同学按照老师给的排列方式计算(a 1 -1)(a 2 -2)…(a 9 -9)之后，得到的结果分别是131221,131233,131247,131250,131269.老师检查后说只有一个结果是正确的，则这个结果是___.
7.规定一次操作可以将一组数5,1,3按任意顺序排列成数组a,b,c后写出新的数组
,
,
,对于新的数组可以继续操作.4位同学按照规定依次写下了若干组数，其中四组为4,6,2;3,1,3;
,4,
和
,4,
,经检验，只有一个结果是正确的，这个结果是___.
8.有依次排列的3个数3,9,8,对相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串3,6,9,-1,8,这称为第一次操作；做第二次同样的操作后，也可产生一个新数串3,3,6,3,9,-10,-1,9,8.继续依次操作下去，那么从数串3,9,8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___.
9.有一本故事书，共有23个故事，各个故事的页数分别为1页、2页、3页、……、22页、23页，按一定顺序装订成册。那么这本故事书中每个故事的第一页是偶数页码的故事的个数最多为___.
10.在n×n的方格盘中，把其中n-1个方格染成黑色，其余方格不染色。染完后，允许按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，规则是：只要是某个未染色的方格与两个黑色方格相邻(如果两个方格有一条公共边，那么就称这两个方格相邻），就把这个方格染黑。那么按照这种规则操作下去,___(填“能”或者“不能”）把整个棋盘全染成黑色.
11.已知如下数表:
将它的任一行或任一列中的所有数同时变号，称为一次变换。问能否经过若干次变换，使表中的数全变为正数?
12.如图24-4所示，表示64间陈列室，凡邻室皆有门相通，一人从A进，从B出，但要求每室都到且只到一次，问这种路线是否存在?
图24-4
13.黑板上写着1000,1001,1002,…,2999这2000个数，每次操作允许擦去其中的任意两个数a和b(a ≤b)并写上
,如此一直进行下去最后得到一个数。求证：这个数必定小于1.
14.圆周被等分为6段弧，将数字1,0,1,0,0,0按顺时针方向依次写在每段弧上。允许将相邻的两个数同时增加1.试问是否能使所有数都变成相等?
15.取下整数7 2019 的首位数字，然后把它加到剩下的数中。重复进行这个操作直到最后得到一个十位数。证明：这个十位数各数位上必有两个相同数字.