第19讲
梯形、三角形和梯形的中位线

一、填空题(每题5分，共50分)

1.△ABC的三边长分别为a、b、c,三条中位线组成第1个中点三角形，第1个中点三角形的三条中位线又组成第 2 个中点三角形，依此类推，求第 2020 个中点三角形的周长为___.

2.某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在该等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是___.

3.如图19-1所示，已知四边形ABCD为等腰梯形,AD ∥BC,AB =CD,AD = ,E为CD中点，连接AE,且AE =2 ,∠DAE =30°,作AF ⊥AE交BC于F,则BF =___.

4.如图19-2所示，在等腰梯形ABCD中,AD ∥BC,BC=10,AD =2,∠B=45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F.若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于___.

5.如图19-3所示，在△ABC中,BD平分∠ABC,AD ⊥BD于D,F为AC中点,AB=5,BC =7,则DF =___.

6.如图19-4所示，在梯形ABCD中,AD ∥BC,AC ⊥BD于点O,AB=DC,AD=3,BC=7,则下列结论:①∠OCB=45°;②S _△AOB =S _△OCD = ;③S _梯形ABCD =25;④AD和BC两平行线间的距离为5.其中正确的有___.(填入序号)

7.如图19-5所示,△ABC的面积为1,BD∶DC=3∶1,E是AC的中点,AD与BE相交于点P,那么四边形PDCE的面积为___.

8.如图19-6所示,∠MAN =90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接A'E.当△A'EF为直角三角形时,AB的长为___.

9.如图19-7所示，在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点。若DE平分△ABC的周长，则DE的长是___.

10.如图19-8所示，将一个等腰直角三角形沿中位线剪成一个三角形与一个梯形后，则这两个图形可能拼成的平面四边形是___.(不许重合、折叠)

二、解答题(每题10分，共50分)

11.如图19-9所示，在等腰梯形ABCD中,AD ∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交AB、BC于点F、E.若AD =2,BC =8.求BE的长.

12.如图19-10所示,AD是∠BAC的角平分线,M是BC的中点,FM ∥AD交AB的延长线于F,交AC于E.

(1)求证:CE =BF.

(2)探索线段CE与AB +AC之间的数量关系，并证明.

13.如图 19-11 所示，在△ABC中,D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，且∠ABE= ∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP ⊥AC, ⊥AB,P、Q为垂足。求证:DP=DQ.

14.如图19-12所示，在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD =AB,E为AB中点，连接CE、CD,求证:CD =2EC.

15.如图19-13所示，在△ABC中,D是△ABC内的一点，延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE =CF,G、H、M分别为BD、AC、EF的中点，如果G、H、M三点共线，求证:AB =CD.