第18讲
菱形、矩形和正方形

一、填空题(每题5分，共50分)

1.如图18-1所示，矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,则∠COE的度数为___.

2.如图18-2所示，在菱形ABCD中,∠A =100°,M、N分别是边AB、BC的中点,MP ⊥CD于点P,则∠NPC的度数为___.

3.如图18-3所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分∠ADC交AC于点E,交BC于点F,∠BDF =15°,则∠COF的度数为___.

4.如图18-4所示，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB =3,AC=4,P为边BC上一动点,PE ⊥AB于E,PF ⊥AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为___.

5.如图18-5所示，点P在正方形ABCD外,PB=10,△APB的面积为60,△BPC的面积为30,则正方形ABCD的面积为___.

6.如图18-6所示，在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在CD、AD上,CE =DF,BE、CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为___.

7.按如图18-7所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(阴影部分）的周长为___.

8.将n个边长都为1cm的正方形按如图18-8所示的方法摆放，点A ₁ ,A ₂ ,…,A _n 分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分）的面积的和为___cm ² .

9.如图18-9所示，矩形ABCD由3×4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有个___.

10.如图18-10所示,AB是圆O的直径，紧挨着的三个正方形依次排列在直径AB上，且各有一个顶点在圆O上，若两侧两个正方形边长分别为 2 和 3,则中间正方形的边长为___.

二、解答题(每题10分，共50分)

11.将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图18-11所示的四边形ABCD.

(1)求证：四边形ABCD是菱形.

(2)如果两张矩形纸片的长都是8,宽都是2.那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由.

12.如图18-12所示，等腰△ABC中,AB =AC,AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外），过点P作EF ∥AB,分别交AC、BC于点E、F,作PM ∥AC,交AB于点M,连接ME.

(1)求证：四边形AEPM为菱形.

(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半?

13.如图18-13所示，在矩形ABCD中,AD >AB,O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N.

(1)求证:BM =DN.

(2)如图18-14所示，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN,求证：四边形AMCN是菱形.

(3)在(2)的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1∶3,求 的值.

14.如图18-15所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中,CG >BC,连接AE,取线段AE的中点M .证明:FM ⊥ MD,且FM =MD.

15.如图18-16所示,P为正方形ABCD内的一点，画平行四边形PAHD、平行四边形PBEA、平行四边形PCFB、平行四边形PDGC,请证明：以E、F、G、H为顶点的四边形是正方形.