第16讲
勾股定理

1.如图16-1所示，在△ABC中,D是BC上一点，已知AC=5,AD =6,BD =10,CD =5,那么△ABC的面积是___.

2.记三角形三边长为a、b、c,对应边上的高为h _a 、h _b 、h _c .若三条高分别为 2、x、6 的三角形是直角三角形，则x =___.

3.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a、b、c,称为勾股数。世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为其中m >n>0,m和n是互质的奇数.

图16-1

应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长之和为___.

4.已知如图16-2所示,AD=BD=CD=m,AB=n,BC=p,BC ∥AD,m和n为有理数，则p=___.(用含m、n的式子表达)

5.等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/s的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为___s.

6.如图16-3所示，在Rt△ABC中,AD =DE =EB,且CD ² +CE ² =1,则斜边AB的长为___.

答图16-2

答图16-3

7.在凸四边形ABCD中,AD = ,AB +CD =2 ,∠BAD =60°,∠ADC=120°,M是BC的中点，则DM =___.

8.如图16-4所示，已知D为△ABC边AB上一点，且AC= ,AD=2,DB=1,∠ADC=60°,则∠BCD =___.

9.如图16-5所示，在四边形ABCD中,AB = ,BC =5- ,CD =6,∠ABC =135°,∠BCD =120°,则AD =___.

10.如图 16-6 所示，已知AD是△ABC的高,∠BAC =60°,BD =2CD =2,则AB =___.

答图16-4

答图16-5

答图16-6

11.如图16-7所示，在△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF.求证:AE ² +BF ² =EF ² .

图16-7

12.在△ABC中,BC =6,AB =2AC,P为BC延长线上一点，且CP =2.

(1)当AB =8时，求△ABC的面积.

(2)当AB变化时，求证:AP的值为定值，并求出这个定值.

图16-8

13.设a、b、c、d都是正数。求证: + > .

14.若勾股数组中，弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a ² +2a,2a ² +2a+1,其中a为正整数.

15.已知△ABC中三边长分别为a、b、c,相应边上的中线长为m _a 、m _b 、m _c ,求证:bc ≤m ≤bc+ .