第14讲
有理式的恒等变形

1.若M =3x ² -8xy+9y ² -4x+6y+13(x、y是实数），则M___0.(填“>”“<”或“=”)

2.若x +y=1,x ³ +y ³ = ,则x ⁵ +y ⁵ =___.

3.已知实数x、y、z满足x ² +y ² +z ² =4,则(2x -y) ² +(2y-z) ² +(2z-x) ² 的最大值为___.

4.如果a、b、c均为正数，且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc的值是___.

5.已知x、y、z是三个互不相同的非零实数，设a=x ² +y ² +z ² ,b=xy+yz+zx,c= + + ,d = + + ,则a与b的大小关系是___,c与d的大小关系是___.

6.已知w、x、y、z四个数都不等于零，也互不相等，如果w+ =x+ =y+ =z+ ,那么w ² x ² y ² z ² =___.

7.当m =___时,x ³ +y ³ +z ³ +mxyz(xyz ≠0)能被x +y+z整除.

8.已知a+b+c=0,a ³ +b ³ +c ³ =0,则a ¹⁵ +b ¹⁵ +c ¹⁵ =___.

9.计算:

10.已知2 ^a ×5 ^b =2 ^c ×5 ^d =10,则(a-1)(d-1)-(b-1)(c-1)=___.

11.设a >b >c,求证:(2b-c-a) ² -4(2a-b-c)(2c-a-b)=9(a-c) ² .

12.已知x+y+z=xyz,证明:x(1-y ² )(1-z ² )+y(1-x ² )(1-z ² )+z(1-x ² )(1-y ² )=4xyz.

13.证明:(y+z-2x) ³ + (z+x -2y) ³ + (x +y-2z) ³ =3(y +z-2x)(z+x -2y)(x +y-2z).

14.已知a、b、c是实数，若、、之和恰等于1,求证：这三个分数的值有两个为1,一个为-1.

15.(1)请观察:25=5 ² ,1225=35 ² ,112 225=335 ² ,11 122 225=3335 ² ,…写出表示一般规律的等式，并加以证明.

(2)26=5 ² +1 ² ,53=7 ² +2 ² ,26×53=1378,1378=37 ² +3 ² .任意挑选另外两个类似26和53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗?

注：瑞士数学家欧拉曾对(2)的性质做了更进一步的推广。他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和。即(a ² +b ² +c ² +d ² )(e ² +f ² +g ² +h ² )=A ² +B ² +C ² +D ² .这就是著名的欧拉恒等式.