第10讲
因式分解的应用

一、填空题(每题5分，共50分)

1.已知关于x的方程x ⁴ +2x ³ +(3+k)x ² +(2+k)x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为___.

2.已知多项式2x ² +3xy-2y ² -x+8y-6可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式，那么 的值是___.

3.若a ⁴ +b ⁴ +a ^2b2 =5,ab=2,则a ² +b ² 的值是___.

4.已知a、b、c为三个非负数，且满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1,设S=3a+b-7c,则S的最大值为___,最小值为___.

5.已知d=x ⁴ -2x ³ +x ² -12x -5,则当x ² -2x -5=0时,d的值为___.

6.已知实数x、y、z满足 + + =1,则 + + 的值是___.

7.若a= x -20,b = x -18,c= x -16,则a ² +b ² +c ² -ab -ac-bc的值为___.

8.大于20,小于30且能整除3 ⁴⁸ -1的整数是___.

9.多项式x ² -mxy+9y ² 能用完全平方公式因式分解，则m的值是___.

10.在日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式x ⁴ -y ⁴ ,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x ² +y ² ),若取x=9,y=9时，则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x ² +y ² =162.于是，把018162作为一个六位数的密码。对于多项式4x ³ -xy ² ,取x=10,y=10,用上述方法产生的密码是___.(写出一个即可)

二、解答题(每题10分，共50分)

11.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(其中p、q是正整数，且p≤q),在n的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解。并规定:F(n)= .例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)= .

(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，那么我们称正整数a是完全平方数。求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.

(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x ≤y≤9,x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.

12.已知m ² =n+4,n ² =m +4(m ≠n),求m ³ -2mn+n ³ 的值.

13.如图 10-1 所示，已知点A(3,4),点B(-1,1),在x轴上有两动点E(n,0),F(m,0)(其中F在E的右边），且m、n满足m ³ -n ³ +mn ² -nm ² =2m ² +2n ² .求点E的坐标，使四边形ABEF的周长取得最小值.

14.如图10-2所示，在正方形ABCD中，点G是边CD上一点(不与端点C、D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG,且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b(a >b).

(1)分别用含a、b的代数式表示图10-2(a)和(b)中阴影部分的面积S ₁ 、S ₂ .(结果要化简)

(2)如果a+b=5,ab=3,求S ₁ 的值.

(3)当S ₁ <S ₂ 时，求 的取值范围.

15.已知a、b是方程x ² -x -3= 0的两个根，求2a ³ +b ² +3a ² -11a-b+6的值. lE7WZX9CK3yY6N5vDvfl5UPRQvYyFZCNydrSgllbjJywolvec+yQKmg0pEQpXUyy