第5讲
一元二次方程的整数根

1.不定方程x ² -2y ² =5的正整数解（x,y）的组数为___.

2.方程x ² +2xy+3y ² =34的整数解（x,y）的组数为___.

3.满足等式的正整数对（x,y）的个数是___.

4.已知p为质数，二次方程x ² -2px+p ² -5p-1=0的两根都是整数，则p的所有可能值是___.

5.已知关于x的方程（a-1）x ² +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有___个.

6.设整数a使得关于x的一元二次方程5x ² -5ax+26a-143=0的两个根都是整数，则a的值是___.

7.已知m是正整数，且方程2x- -m+10=0 有整数解，则m所有可能的值是___.

8.已知关于x的方程（m+1）x ² +2x-5m-13=0的根均为整数，则实数m=___.

9.已知关于x的方程rx ² +（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根，则实数r=___.

10.关于x、y的方程x ² +xy+2y ² =29的所有整数解（x,y）为___.

11.已知a、b都是正整数，试问关于x的方程x ² -abx+ （a+b）=0是否有两个整数解?如果有，请把它们求出来;如果没有，请给出证明.

12.设a为质数，b、c为正整数，且满足

求a（b+c）的值.

13.已知a是正整数，如果关于x的方程x ³ +（a+17）x ² +（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.

14.经研究，方程x ³ -x-1=0恰有一个实根x ₀ ，并且1<x ₀ <2.

（1）判断x ₀ 是有理数还是无理数，并说明理由.

（2）判断x ₀ 是否是某个整系数二次方程ax ² +bx+c=0的根，并说明理由.

15.将1×2×3×…×n记作n!,n为正整数.求方程20（x!）+2（y!）=（2x+y）!的所有正整数解（x,y）.