第2讲
韦达定理

一、填空题（每题5>分，共50>分）

1. 【答案】 - .

【解析】 因为x ₁ 、x ₂ 是关于x的一元二次方程x ² +（3a-1）x+2a ² -1=0的两个实数根，

所以x ₁ +x ₂ =-（3a-1）,x ₁ x ₂ =2a ² -1.

因为（3x ₁ -x ₂ ）（x ₁ -3x ₂ ）=-80,

所以 =-80,

即3（x ₁ +x ₂ ） ² -16x ₁ x ₂ =-80,

所以3[-（3a-1）] ² -16（2a ² -1）=-80,

所以5a ² +18a-99=0,

所以a=3或a=- ,

当a=3时，方程x ² +（3a-1）x+2a ² -1=0的根的判别式小于0，不合题意，舍去.

所以a=-

2. 【答案】 a,b.

【解析】 方程（x-a）（x-b）-x=0可化为x ² -（a+b+1）x+ab=0,

而方程的两个根为c、d，所以

所以把式①、式②代入式③中得x ² -（a+b）x+ab=0，即（x-a）（x-b）=0,

所以x ₁ =a,x ₂ =b.

3. 【答案】 - .

【解析】 由一元二次方程的根与系数的关系可得x ₁ +x ₂ =-2p,x ₁ x ₂ =-3p-2,

所以

所以4p ² +6p+4=4+2p（4p ² +9p+6）,

所以p（4p+3）（p+1）=0,

所以p ₁ =0,p ₂ =- ,p ₃ =-1.

代入检验可知:p ₁ =0,p ₂ =- 均满足题意

p ₃ =-1不满足题意.

因此，实数p的所有可能的值之和为 .

4. 【答案】 7.

【解析】 由a ² +1=3a,b ² +1=3b，且a≠b知，a与b是关于x的一元二次方程x ² -3x+1=0的两个实数根.

由一元二次方程的根与系数的关系得a+b=3,ab=1.

5. 【答案】 .

【解析】 由9y ² +2011y+5=0得

由xy≠1得x≠ ,

所以x与 是一元二次方程5t ² +2011t+9=0的两个不同的实数根，

由韦达定理有x· = .

6. 【答案】 c ² x ² -（b ² -2ac）x+a ² =0.

【解析】 因为x ₁ +x ₂ =- ,x ₁ x ₂ = ,

所以，以 和 为两个实根的一元二次方程是c ² x ² -（b ² -2ac）x+a ² =0.

7. 【答案】 , .

【解析】 由题意可知，a+b=8,ab=c ² -8 c+48，所以a、b是方程y ² -8y+c ² -8 c+48=0的两根，

所以（y-4） ² +（c-4 ） ² =0,

所以y=4,c=4 ，即a=b=4,c=4 ,

所以bx ² +cx-a=0可化为4x ² +4 x-4=0，即x ² + x-1=0,

解得x ₁ = ,x ₂ =_ .

故方程的根为x ₁ = ,x ₂ =_ .

8. 【答案】 -2012.

【解析】 把a ²⁰¹² 与b ²⁰¹² 看作方程（x-c ²⁰¹² ）（xd ²⁰¹² ）=2012的两个解，

方程整理得x ² -（c ²⁰¹² +d ²⁰¹² ）x+ （cd） ²⁰¹² 2012=0,

由韦达定理得，a ²⁰¹² b ²⁰¹² =（cd） ²⁰¹² -2012.

所以（ab） ²⁰¹² -（cd） ²⁰¹² =[（cd） ²⁰¹² -2012]-（cd） ²⁰¹² =-2012.

9. 【答案】 1≤a≤5.

【解析】 由bc=a ² -2a+10,（b+c） ² =bc+12a+15，得（b+c） ² =a ² +10a+25=（a+5） ² ,

即b+c=±（a+5）.

所以b、c是方程x ² ∓（a+5）x+a ² -2a+10=0的两个实数根.

于是有Δ=（a+5） ² -4（a ² -2a+10）≥0,

即a ² -6a+5≤0，解得1≤a≤5.

10. 【答案】 -4 .

【解析】 由根与系数的关系得a _n +b _n =n+2,a _nbn =-2n ² ，所以

二、解答题（每题10>分，共50>分）

11. 【答案】 7.

【解析】 已知条件可化为（- ） ² + （- ）=3,（y _2）2 +y ² =3.

所以 和y ² 是关于t的一元二次方程t ² +t-3=0的两个实数根.

由一元二次方程的根与系数的关系得- +y ² =-1,- ·y ² =-3.

所以 +y ⁴ =（- +y ² ） ² + =（-1） ² +4× =7 .

12. 【答案】 （1）m= ;（2）10.

【解析】 （1）因为 =（x ₂ +x ₂ ） ² -2x ₁ x ₂ =4（m-2） ² -2（m ² -3m+3）=2m ² -10m+10，所以2m ² -10m+10=6，即m ² -5m+2=0,

所以m= .

因为原方程有两个不相等的实数根，所以Δ=4（m-2） ² -4（m ² -3m+3）=-4m+4>0，故m<1,

又m≥-1，所以-1≤m<1.

所以m= .

（2）由韦达定理有，x ₁ +x ₂ =-2（m-2）,x ₁ x ₂ =m ² -3m+3,

因为y在-1≤m<1上是递减的，所以当m=-1时，y取得最大值10.

故 + 的最大值为10.

13. 【答案】 -3或29.

【解析】 设方程x ² +ax+b=0的两个根为α和β（α、β为整数，且α≤β），则

方程x ² +cx+a=0的两个根为α+1和β+1，由题意得

化简得αβ+2α+2β+1=0，即（α+2）（β+2）=3.

又因为a=-（α+β）,b=αβ,c=-[（α+1）+（β+1）]，所以，a=0,b=-1,c=-2或者a=8,b=15,c=6.

故a+b+c=-3或a+b+c=29.

14. 【答案】 10.

所以a+b=± ，且 ≥0，即t≤9.

所以a、b是关于x的一元二次方程x ² ± x+ =0的两个实数根.

所以Δ= -4× ≥0，解得t ≥1.

又t≤9,

所以1≤t≤9.

从而可知，m=9,n=1.

所以m+n=10.

15. 【答案】 a=-2,b=-3,c=2.

【解析】 设x ₁ 是方程x ² +ax+1=0和x ² +bx+c=0的相同的实 数根，

则 +ax ₁ +1=0, +bx ₁ +c=0.

两式相减，并注意到a-b≠0，解得x ₁ =a .

显然x ₁ ≠0，所以c≠1.

设x ₂ 是方程x ² +x+a=0和x ² +cx+b=0的相同的实数根，则 +x ₂ +a=0, +cx ₂ +b=0,

两式相减，并注意到c-1≠0，解得x ₂ =a .

显然x ₁ x ₂ =1.

因为方程x ² +ax+1=0的两根之积为1，其中一根为x ₁ ，所以x ₂ 也是方程x ² +ax+1=0的根.

所以 +ax ₂ +1=0.

又因为 +x ₂ +a=0,

两式相减，得（a-1）x ₂ =a-1.

若a=1，则方程x ² +ax+1=0 无实根，所以a≠1,

所以x ₂ =1.

所以a=-2,b+c=-1.

又因为a-b+c=3，所以b=-3,c=2.

所以a=-2,b=-3,c=2. iRPU4Iemz+4sZzInMHmcvQnmKRoMG7DwNJC+UA2kKnWToq1cDLIYN48eCIK7lr08