第1讲
判别式及其应用

一、填空题（每题5>分，共50>分）

1. 【答案】 n≥ .

【解析】 由Δ=（2n） ² -4（n ² -3n+2）≥0，可得n≥ .

2. 【答案】 c=a+2b .

【解析】 解法一:Δ=（a-b） ² -4（b-c）（c-a）=0,

展开得（a ² +b ² -2ab）-4（bc-ab-c ² +ac）=0,

整理得（a+b） ² -4c（a+b-c）=0.

所以（a+b） ² -4c（a+b）+4c ² =0,

即（a+b-2c） ² =0，所以

解法二：易知x=1是该方程的根，故两个相等的实数根均为1，即 ，所以 .

3. 【答案】 0<a<1.

【解析】 由已知有

即b ² -2（1+2a）b+8a+1>0对任意实数b恒成立，

所以

解得a ² -a<0,

所以0<a<1.

4. 【答案】 16.

【解析】 因为x ² +2（a+2b+3）x+（a ² +4b ² +99）=0无相异两实根，

所以Δ=[2（a+2b+3）] ² -4（a ² +4b ² +99）≤0,

化简为2ab+3a+6b≤45,

所以（a+3）（2b+3）≤54.

因为a、b为正整数，

所以2b+3≤ ≤ ，从而有2b+3≤13,

故b≤5.

当b=1时，a+3≤ ，故a≤7，符合条件的有序正整数对共有7组;

当b=2时，a+3≤ ，故a≤4，符合条件的有序正整数对共有4组;

当b=3时，a+3≤ ，故a≤3，符合条件的有序正整数对共有3组;

当b=4时，a+3≤5 ，故a≤1，符合条件的有序正整数对共有1组;

当b=5时，a+3≤5 ，故a≤1，符合条件的有序正整数对共有1组.

综上所述，符合条件的有序正整数组共有16组.

5. 【答案】 a≤-2或a≥4.

【解析】 由b是实数知，关于b的一元二次方程b ² -ab+ a+2=0的根的判别式Δ=（-a） ² 4×1×（ a+2）≥0，解得a≤-2或a≥4.

6. 【答案】 .

【解析】 由已知得（y+4x） ² =（3 ） ² ,

化简得20x ² -8yx+（9-y ² ）=0.

由Δ=64y ² -80（9-y ² ）≥0，得y ² ≥5,

注意到y>-4x+3 =-4x+|6x|≥0,

所以y≥ ，当x= 时取等号.

所以函数y=-4x+3 的最小值是 .

7. 【答案】 .

【解析】 方程ax ² + bx+ c=0 的根为 ，则b ² -4ac= 或b ² -4ac= .

设 =y，则y ² = 或y ² = .

因为a≠0，所以这两个方程可化为关于y的一元二次方程2ay ² ±y+b=0.

由这个方程的根的判别式可得 1-8ab≥0，即ab≤ .

8. 【答案】 3,- .

【解析】 由已知得关于x的方程（2y ² +2y+1）x ² +2（y-1）x+5=0有解，

由Δ≥0，得9y ² +12y+4≤0，即（3y+2） ² ≤0，于是y=- .

代入条件方程，得x ² -6x+9=0，解得x=3.

9. 【答案】 2.

【解析】 根据对称性，不妨设x >0,y ≥0，且x-y≥0.

设u=x-y≥0，于是x=y+u，代入条件方程，得（y+u） ² -2y ² =8，即y ² -2uy-u ² +8=0.

于是Δ=（2u） ² -4（-u ² +8）≥0，解得u≥2，当x=4,y=2时取等号.

所以|x-y|的最小值是2.

10. 【答案】 .

【解析】 由y= 有（y-1）x ² +2a（y-2）x+ya ² =0.

当y≠1时，由Δ=4a ² （y-2） ² -4a ² y（y-1）≥0,

解得y≤ ,

当等号成立时， = ，解得x=2a.

所以y的最大值为 .

二、解答题（每题10>分，共50>分）

11. 【答案】 .

【解析】 由x+y+z=1知，z=1-x-y.

设M=xy+2yz+3zx.

整理成关于x的二次方程为

所以M≤- y ² + ≤ ,

当且仅当x= ,y=0时等号成立.

所以M的最大值为 .

解法二:

当且仅当x= ,y=0时，M _max = .

12. 【答案】 最大值为36，最小值为16.

【解析】 令（x-3） ² +（y+4） ² =t，则t≥0,

t=x ² +y ² -6x+8y+25=-6x+8y+26,

得出y= x+ .

代入x ² +y ² =1，化简整理得

100x ² +12（t-26）x+（t-26） ² -64=0,

Δ=[12（t-26）] ² -4×100[（t-26） ² -64]≥0,

则16≤t≤36.

因此，t的最大值、最小值分别为36、16.

13. 【答案】 证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得

原式=3x ² +2（a+b+c）x+ab+ac+bc.

因为它是完全平方式，所以Δ=0,

即4（a+b+c） ² -12（ab+ac+bc）=0.

所以2a ² +2b ² +2c ² -2ab-2bc-2ca=0,

即（a-b） ² +（b-c） ² +（c-a） ² =0.

要使等式成立，必须且只需

解这个方程组，得a=b=c.

14. 【答案】 证明：原式可化为a· （-3） ² +2b·（-3）+2c=0,

可见x=-3是关于x的一元二次方程ax ² +2bx+2c=0的一个根，

从而该方程根的判别式（2b） ² -4a·（2c）≥0,

化简得b ² -2ac≥0.

15. 【答案】 2025或3025.

【解析】 设前后两个二位数分别是x、y,10≤x,y≤99.

由已知有（x+y） ² =100x+y，即

x ² +2（y-50）x+（y ² -y）=0,①

由Δ=[2（y-50）] ² -4（y ² -y）=4（250099y）≥0，且y为整数，可得y≤25.

当y≤25时，方程①有实数解

x=50-y± .

由于2500-99y必为完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0、1、4、5、6、9,x的数位是2位，y的数位是2位，故y仅可取25，此时，x=30或x=20.

故所求四位数为2025或3025. CW1QrQYvwidd/HP6y4X8Nq38NNB0BuXP+02jtb2x+j0tV3VVQ+IGYPMUPj6iKFyr