第34讲
探索型问题

一、填空题（每题5分，共50分）

1.如图34-1所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是___.

2.如图34-2所示，在等腰Rt△ABC中，AC=BC= ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为___.

3.如图34-3所示，△A ₁ B ₁ A ₂ ,△A ₂ B ₂ A ₃ ,△A ₃ B ₃ A ₄ ,…,△A _n B _n A _{n +1} 都是等腰直角三角形，其中点A ₁ ,A ₂ ,…,A _n 在x轴上，点B ₁ ,B ₂ ,…,B _n 在直线y=x上.已知OA ₁ =1，则OA ₂₀₁₇ 的长为___.

4.如图34-4①~④所示，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图⑩中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S ₁ ,S ₂ ,S ₃ ,…,S ₁₀ ，则S ₁ +S ₂ +S ₃ +…+S ₁₀ =___.

5.如图34-5所示，抛物线y=x ² 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A ₁ ,A ₂ ,A ₃ ,…,A _n .将抛物线y=x ² 沿直线l:y=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件:

①抛物线的顶点M ₁ ,M ₂ ,M ₃ ,…,M _n 都在直线l:y=x上;②抛物线依次经过点A ₁ ,A ₂ ,A ₃ ,…,A _n .则顶点M ₂₀₁₆ 的坐标为___.

6.将n个边长都为2的正方形按如图34-6所示摆放，点A ₁ ,A ₂ ,…,A _n 分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是___.

7.如图34-7所示，已知A ₁ ,A ₂ ,A ₃ ,…,A _n ,A _{n +1} 是x轴上的点，且OA ₁ =A ₁ A ₂ =A ₂ A ₃ =…=A _n A _{n +1} =1，分别过点A ₁ ,A ₂ ,A ₃ ,…,A _n ,A _{n +1} 作x轴的垂线交直线y=2x于点B ₁ ,B ₂ ,B ₃ ,…,B _n ,B _{n +1} ，连接A ₁ B ₂ ,B ₁ A ₂ ,B ₂ B ₃ ,A ₂ B ₃ …,A _n B _{n +1} ,B _n A _{n +1} ，依次相交于点P ₁ ,P ₂ ,P ₃ ,…,P _n .△A ₁ B ₁ P ₁ ,△A ₂ B ₂ P ₂ ,△A ₃ B ₃ P ₃ ,…,△A _n B _n P _n 的面积依次记为S ₁ ,S ₂ ,S ₃ ,…,S _n ，则S _n 为___.

8.设△ABC的面积为1，如图34-8（a）所示，将边BC、AC分2等份，BE ₁ 、AD ₁ 相交于点O,△AOB的面积记为S ₁ ;如图34-8（b）所示，将边BC、AC分为3等份，BE ₁ 、AD ₁ 相交于点O,△AOB的面积记为S ₂ ……依此类推，则S _n 可表示为__.（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

9.如图34-9所示，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图像上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8,4），阴影部分三角形的面积从左向右依次记为S ₁ ,S ₂ ,S ₃ ,…,S _n ，则S _n 的值为___.（用含n的代数式表示，n为正整数）

10.如图34-10所示，弹性小球从点P（0,3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P ₁ ，第2次碰到矩形的边时的点为P ₂ ,…，第n次碰到矩形的边时的点为P _n ，则点P ₃ 的坐标是___;点P ₂₀₁₄ 的坐标是___.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图34-11所示，在锐角三角形纸片ABC中，AC>BC，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上.

（1）已知:DE∥AC,DF∥BC.

①四边形DECF一定是什么四边形?

②当AC=24cm,BC=20cm,∠ACB=45°时，请你探索：如何裁剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论.

（2）请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D、E、C、F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由.

12.如图34-12所示，在平面直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y= ,y= 的图像分别是直线l ₁ 和l ₂ ,☉P（以点P为圆心，1为半径）与直线l、l ₁ 、l ₂ 中的两条相切，例如（3,1）就是其中一个☉P的圆心坐标.

（1）写出其余满足条件的☉P的圆心坐标.

（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长.

13.在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线l:y=ax ² 相交于A、B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上.

（1）已知a=1，点B的纵坐标为2.

①如图34-13（a）所示，向右平移抛物线l，使该抛物线经过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长.

②如图34-13（b）所示，若BD= AB，过点B、D的抛物线l ₂ 的顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式.

（2）如图34-13（c）所示，若BD=AB，过O、B、D三点的抛物线l ₃ 的顶点为P，对应函数的二次项系数为a ₃ ，过点P作PE∥x轴交抛物线l于E、F两点，求aa3 的值，并直接写出 的值.

14.在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD，交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作☉O.点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位:s）, .

（1）如图34-14（a）所示，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为___.

（2）如图34-14（b）所示，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值.

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题:

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧.

②如图34-14（c）所示，在运动过程中，当QM与☉O相切时，求t的值，并判断此时PM与☉O是否也相切?请说明理由.

15.运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.

（1）如图34-15（a）所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AC边上的高为h,M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h ₁ 、h ₂ .请用面积法证明:h ₁ +h ₂ =h.

（2）当点M在BC延长线上时，h ₁ 、h ₂ 、h之间的等量关系式是___.（直接写出结论不必证明）

（3）如图34-15（b）所示，在平面直角坐标系中有两条直线l ₁ : ,l ₂ :y=-3x+3，若l ₂ 上的一点M到l ₁ 的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标.