1.证明:对每一个自然数m,平面内存在一有限点集S.有如下性质:对S中每一个点A,S中恰有m个点与A相距1单位,这种点集S有无限个.
2.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合,使得
(1)每个整点都在此集合的某一圆周上.
(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.
3.是否存在100个正整数,使得它们的和与最小公倍数相等?
4.在圆内或圆上任取8个点.证明:在这8个点中,必有两个点的距离小于圆的半径.
5.某岛上的居民使用的语言由只含有a、b、c、d、e、f、g这七个字母的单词构成.若下列变换规则被使用了若干次,则称一个单词“生成”另一个单词.
①按如下规则将一个字母变为两个字母:
a→bc,b→cd,c→de,d→ef,e→fg,f→ga,g→ab;
②在一个单词中,若某个字母的前后两个字母相同,则这两个相同的字母可以被去掉(如dfd→f).
例如,cafed能够生成bfed(这是因为cafed→cbcfed→bfed).
证明:该语言中任意一个单词可以生成其他的所有单词.
6.一个蜂房中的蜜蜂从一棵开着花的树上采蜜,每只蜜蜂最多到这棵树上100次.任意时刻,最多有两只蜜蜂同时在树上;任意两只蜜蜂在某一时刻一起在这棵树上.问:蜂房中最多有多少只蜜蜂?
7.两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点,而一只苍蝇正处在该顶点的体对顶点上.已知蜘蛛和苍蝇均以同样的速度沿着正方体的棱移动(可沿某条棱来回走),且任何时刻它们均知道彼此的位置.若有一只蜘蛛和苍蝇同时到达同一点,则认为苍蝇被蜘蛛捉到.证明:若这两只蜘蛛足够聪明的话,它们必将捉住苍蝇.
8.一只蚂蚁在平面上爬行的方式为:它最初在如图33-1所示,的方向上爬行1个单位长,然后,向左或向右转60°,在新的方向上再爬行1个单位长.如此继续下去,每爬行1个单位长称为一步.试问:蚂蚁有可能在经过如下若干步后回到出发点吗?
(1)2008步;(2)2009步.
图33-1
9.在桌面的同一水平线上放置有k个圆和1,2,…,k这k个数.起初任何一个圆均没有数相对应,但可以按照如下方式将圆与数相对应:
①若圆不与数相对应,则给这个圆添加一个数;
②若圆对应着一个数,就删掉这个数.
对于d|k(d∈N>,1≤d≤k) ,若圆所对应的数是d的倍数,可以随意改变圆的对应方式,即对于d的每个正约数,从左到右有k种改变方式。若有必要,也可以再按照从右往左的方式进行,假设从左起第一个圆所对应的数是d的倍数时,若按照k的正约数的方式仅改变一次,使得1,2,…,k均能与圆对应,问:k的可能值是多少?
10.有一个8×8国际象棋盘.经过棋盘上某些方格的中心连有一条不自交的闭折线,折线上的每一段沿着竖直方向、水平方向或对角线方向连接两个相邻方格的中心.证明:在以该折线为边界的多边形中,黑色区域的面积与白色区域的面积相等.