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1.现有一组砝码，具有如下性质:
①其中有五个砝码的质量各不相同;
②对于任意两个砝码，均可以找到另外两个砝码，其质量之和相同.
问：这一组砝码最少可以有多少个?
2.两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币.规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚.使得对方无法按照规则再放，谁就获胜.问：是先放合算还是后放合算?
3.靶子———“奔跑的野猪”隐藏在n个排成一行的窗户之一里面，窗户全部用窗帘挡住，射手看不见靶子.射手只要射中靶子所在的窗户，就算射中了目标.若靶子不在最右端的窗户里面，则在每次射击之后，它就往右移动一个窗户.一旦移到了最右端的窗户，它就不再移动了.试问：为了一定能够射中目标，射手最少需要射击多少次?
4.袋子中有标号分别为1,2,…,255的255只球.N个人每人从袋子中摸一只球.在摸出的球中，没有一只球的标号恰是另一只球的标号的两倍.求N的最大可能值.
5.证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形.
6.平面上已给997个点，将连接每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点.
7.平面上任给2n个点，其中任意三点不共线，并把其中n个点染成红色，n个点染成蓝色.求证：可以一红一蓝地把它们连成n条线段，使这些线段互不相交.
8.平面上给定2005个点，任意两点距离小于2005，任意三点是某个钝角三角形的顶点.求证：存在直径不超过2005的圆覆盖这2005个点.
9.能否在平面上安排有限条线段，使每一条线段都至少有一端点严格地位于其他某条线段的内部?
10.平面上有n个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于1.证明：存在一个面积小于4的三角形包含这n个点.