第31讲
从简单情况看问题

1.线段AB上有1998个点（包括A、B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色.这时，图中共有1997条互不重叠的线段.问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数?为什么?

2.1000个学生坐成一圈，依次编号为1,2,3,…,1000.现在进行1、2报数:1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人.问：这个学生的编号是几号?

3.在6×6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色.然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的.那么，总共至少要涂红多少小方格?

4.n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同.试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.

5.在一个8×8的方格棋盘的方格中，填入从1到64这64个数.问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4?

6.某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数?

7.一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人.若按每排4人编队，则最后差3人;若按每排3人编队，则最后差2人;若按每排2人编队，则最后差1人.问：这支队伍至少有多少人?

8.在八边形的8个顶点上分别记上数1,2,…,8，是否可以使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13?

9.是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点?

10.我们将若干个数的最大值和最小值分别记为max（x,y,z…）和min（x,y,z…）.已知a+b+c+d+e+f+g=1，求min[max（a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g）].