第25讲
几何极值

一、填空题（每题5分，共50分）

1.两条中线长分别为1、2的三角形面积的最大值为___.

2.在一条直线上按A、B、C的次序排列着三个点，且AB=8,AC=18,D为直线外一点，且DA⊥AB，当AD为___时，∠BDC有最大值.

3.设△ABC是边长为1的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B、C到l的距离记为d ₁ 、d ₂ ，则d ₁ +d ₂ 的最大值为___.

4.在梯形ABCD中，已知AB∥CD，高为2,AB=2,CD=4，且AB的中点为M，当边CD上的点N移动时，△ANB和△DMC的公共部分面积的最大值为___.

5.已知M为△ABC边BC的中点，AB=4,AM=1，则∠BAC的最小值为___.

6.如图25-1所示，四边形ABCD中，AC、BD交于O,△ADO和△BCO的面积分别为3、12，则四边形ABCD面积的最小值为___.

7.正三角形ABC的边长为1,M、N、P分别在BC、CA、AB上，BM+CN+AP=1，则△MNP的最大面积为___.

8.在数 中，若任找三个数能组成三角形的三边，则称这三个数是“好搭档”，则总共有___组“好搭档”.

9.如图25-2所示，∠XOY=60°,A、B是OX上的两个定点，P是OY上的一个动点，则当P在___位置时，PA ² +PB ² 最小.

10.在三角形ABC中，AC=4,BC=6,∠BAC=2∠ABC.P是平面上任意一点，则3PA+2PB+PC的最小值为___.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图25-3所示，设P是定角∠A内一定点，过P作动直线交两边于M、N，求证:△AMN面积最小时，P为MN的中点.

12.设P为正五边形ABCDE所在平面上的任意一点.求 的最小值.

13.已知一上、下底长分别为1、4的梯形，存在一条平行于上下底、长为3的线段将此梯形分为两个梯形.现用平行上下底的线段继续分割以上两个梯形，各分成m、n份，同时，保证所有m+n个梯形的面积相同.求m+n的最小值，并求出当m+n最小时所有切线段的长度.

14.设S为锐角△ABC的边AB上的点，P、Q分别为△ASC、△BSC外接圆的圆心.问：点S在边AB上的什么位置时，使得△PQS的面积最小.

15.若一个平面多边形各顶点的距离至多为1，证明：它的面积严格小于 . mfrcsmImVXJBNVCVj5N5oHrPkSV9PGJUlN7oyvlJMhUqHX09Hs+6KKfqjLtrMjLe