第22讲
函数中的动态几何问题

一、填空题（每题5分，共50分）

1.如图22-1所示，一次函数y=x-4的图像与y轴交于点A，与反比例函数y= （x>0）的图像交于点B，点C是直线AB上的动点（与点A,B不重合），过点C且平行于y轴的直线l交这个反比例函数的图像于点D，当点C的横坐标为3时，得△OCD，现将△OCD沿射线AB方向平移一定的距离得到△O'C'D'，若点O的对应点O'落在该反比例函数图像上，则点O'、D'的坐标分别是___.

2.如图22-2所示，已知一动圆的圆心P在抛物线 上运动.若☉P的半径为1，点P的坐标为（m,n），当☉P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是___.

3.如图22-3（a）所示，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如图22-3（b）所示，设抛物线y=ax ² +bx+c（a<0），若抛物线同时经过点O、B、C，则a关于n的关系式是___.

4.如图22-4所示，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm,∠B=30°，点P从点B出发以 cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿B→A→C运动到点C停止.若△BPQ的面积为y，运动时间为x（s），则下列图像中能大致反映y与x之间关系的是___.（填上正确的序号）

5.如图22-5所示，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ.过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F.

设点P的运动时间为t秒（t>0），当t=___时，F为PD的中点.

6.抛物线 与x轴正半轴交于点A，点D、N在抛物线上，其中点D的横坐标为3.若在x轴上存在点M，使以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则相应点M的坐标为___.

7.抛物线 与x轴的负半轴交于点A，点E在该抛物线上，且横坐标为 ，点P为x轴上任意一点，则 的最小值为___.

8.如图22-6所示，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2,0），点A在第一象限，∠AOB=60°.在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O'B'.设P（t,0），若O'B'某一端点在双曲线y= 上，则t的值为___.

9.如图22-7所示，抛物线y= x ² -2x的顶点为A，与x轴交于O、B两点，点P（m,0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y= 于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH.若FG=23，则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为___.

10.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x ² -2交于A、B 两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0,-4），连接PA、PB.有以下说法:

① PO ² =PA·PB;

②当k>0时，（PA+AO）（PB-BO）的值随k的增大而增大;

③当k= 时，BP ² =BO·BA;

④ △PAB面积的最小值为4 6.

其中正确的是___.（写出所有正确说法的序号）

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图22-8所示，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm,OB=6cm.点P从点O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么

（1）设△POQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.

（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由.

（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似.

12.如图22-9所示，菱形ABCD的边长为8cm,∠B=60°,P、Q同时从A点出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向运动.当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q运动的时间为xs,△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm ² （规定：点和线段是面积为0的三角形）.

（1）当x=___s时，P和Q相遇.

（2）当x=___s时，△APQ是等腰直角三角形.

（3）当x=___s时，△APQ是等边三角形.

（4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值.

13.如图22-10（a）所示，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC,O为坐标原点，OA=AB=BC,∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.

（1）连接PA、PE，求证:PA=PE.

（2）连接PC，若PC+PE=2 3，试求AB的最大值.

（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图22-10（b）所示，点M坐标为（0,-1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.

14.四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫作这个四边形的相似对角线.

（1）如图22-11（a）所示，四边形ABCD中，∠DAB=100°,∠DCB=130°，对角线AC平分∠DAB，求证:AC是四边形ABCD的相似对角线.

（2）如图22-11（b）所示，直线 分别与x轴、y轴相交于A、B两点，P为反比例函数 上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式.

（3）如图22-11（c）所示，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3,1）,AC∥x轴，∠BCA=∠DCA=30°，连接BD,△BCD的面积为 过A、C两点的抛物线y=ax ² +bx+c（a<0）与x轴交于E、F两点，记|m|=AC+1，若直线y=mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值.

15.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=mx+n分别交x轴、y轴于A（4,0）、B（0,3）两点.

（1）求直线y=mx+n的解析式.

（2）点C为直线AB上一动点，以C为顶点的抛物线y=x ² +bx+c与直线AB的另一交点为D，如图22-12（a）所示，连接OC、OD，在点C的运动过程中△COD的面积S是否变化?若变化，求出S的范围;若不变，求出S的值.

（3）平移（2）中的抛物线，使顶点为（0,-4），抛物线与x轴的正半轴交于点G，如图22-12（b）所示，M、N为抛物线上两点，若以MN为直径的圆经过点G，求直线MN经过的定点Q的坐标.