第20讲
锐角三角函数

一、填空题（每题5分，共50分）

1.已知α为锐角，有下列结论:

①若α>45°，则sinα>cosα;

②若cosα> ，则α<60°;

③ =1+tan ² α;

④

其中正确的有___.（填上所有序号）

2.如图20-1所示，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则sinA+cosA+tanA=___.

3.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x ² -mx+1=0的两根.则sin ⁴ α+cos ⁴ α的值为___.

4.如图20-2所示，矩形ABCD对角线相交于O点，DE∥AC,CE∥BD，连接BE.若∠AOD=120°，则tan∠DBE=___.

5.在△ABC中，AB=AC,∠A=45°,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连接CD，如果AD=1，则tan∠BCD=___.

6.如图20-3所示，在四边形ABCD中，AC⊥BC,DE⊥AC于E,DE的延长线交AB于F，已知AB=15,DE= ,tan∠B= ，且S _△AFE ∶S _{四边形EFBC} =1∶8，则∠DAB的度数是___.

7.如图20-4所示，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC,MD⊥DC,NB⊥BA,ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的 ，则cos∠A=___.

8.如图20-5所示，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成锐角θ，已知sinθ= ,sin∠A= ,CD=4m,BC=5m，则电线杆AB的长为___m（结果可含根号）.

9.如图20-6所示，点B在△ACD的边AD上，AB= +1,AC= ，锐角∠A与∠BCD满足tan∠A=tan∠BCD= ，则△BCD的面积为______.

10.如图 20-7 所示，在锐角△ABC中，∠ACB=45°,△BCD、△ABE、△ACF都是△ABC形外的等边三角形，若这四个三角形面积有如下等量关系:S _△BCD +S _△ACF =mS _△ABE +nS _△ABC ，则m·n=___.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图20-8所示，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门监测，目前台风中心位于城市O以南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）?

12.如图20-9（a）所示，在一个直角三角形的桌子上打台球.已知Rt△ABC的斜边AB长为3米，sin∠ABC= .现把一球放在点A的位置，打向对边上的点，此球经过8次碰撞最终落入点B.如图20-9（b）所示，向右作8个与△ABC全等的三角形，保证相邻的三角形是关于三角形的某个边对称.将球放在点A，打向点D，易看出AD就是所求的路径长.试求AD ² .

（参考公式:sin（180°-3θ）=sin3θ=3sinθ-4sin ³ θ.）

13.如图20-10所示，甲在岸上点A处发现乙在点B处落水呼救，点B离岸上AC的距离BC=30m,∠BAC=15°，甲在岸上跑步速度是 m/s，在水中游泳速度为3m/s，甲从点A到B的时间为ts.求t的最小值.（参考: ）

14.若平面内有一正方形ABCD,M是该平面内任意点，求M 的最小值.

15.如图20-11（a）所示，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E从点C出发，以 cm/s的速度沿射线CB运动，当点E与点B重合时，运动停止.过点E作EF⊥AC，垂足为点F，将线段EF绕点F顺时针旋转90°，点E在射线CA上的对应点为点H，连接EH.若△EFH与△ACD的重叠部分面积为S（cm ² ），点E的运动时间为ts,S关于t的函数图像如图20-11（b）所示（其中 时，函数解析式不同）.

（1）求BC的长.

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围.