第19讲
三角形的“四心”

一、填空题（每题5分，共50分）

1.平面直角坐标系中有O （0,0）,I（1,0）两点，则以O为外心，I为内心，且一边平行于x轴的三角形有___个.

2.△ABC的内心为I，垂心为H,△BHC的外心为P，若A、I、P共线，则∠BAC=___.

3.△ABC的外心为O，内心为I，垂心为H，若∠A=60°，则 =___.

4.已知锐角△ABC的外心为O,AO交BC于D,△ABD和△ACD的外心分别是E和F，若AB>AC,EF=BC，则∠C-∠B=___.

5.凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点P，若∠BAC=25°,∠BCA=20°,∠BDC=50°,∠BDA=40°，则∠CPD=___.

6.已知锐角△ABC的内心I关于三边的对称点A'、B'、C和点B四点共圆，∠ABC=___.

7.如图19-1所示，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，△ABC的内切圆☉I切AB于D，延长DI交半圆于E，已知DE=10，则△ABC的面积为___.

8.如图 19-2 所示，在△ABC中，∠BAC=54°,AD是角平分线，取△ABC、△ABD、△ACD的外心O、O ₁ 、O ₂ ，则∠OO _1O2 =___.

9.已知CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=3,BC=4，则△ABC、△ACD、△BCD的内切圆半径之和为___.

10.点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AB=4,AC=3，且IE=ED，则BC=___.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图19-3所示，☉O的内接四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证:（1）OI是△IBD的外接圆的切线;（2）AB+AD=2BD.

12.P是锐角∠AOB内任一点，过P向OA、OB分别作垂线PM、PN，垂足分别为M、N，再从M、N分别向OB、OA作垂线MX、NY，垂足分别为X、Y，求证:OP⊥XY.

13.如图19-4所示，AD是等腰△ABC底边上的高，DE⊥AC于E,F为DE中点，求证:AF⊥BE.

14.如图19-5所示，在△ABC中，∠C=30°,O为外心，I为内心，边AC上的点D与BC上的点E满足AD=BE=AB，求证:OI与DE垂直且相等.

15.如图19-6所示，锐角△ABC的内切圆☉I分别切BC、CA于点D、E，直线BI交DE延长线于点G.求证:AG⊥BG.