第18讲
四点共圆

一、填空题（每题5分，共50分）

1.一个等腰梯形的下底和对角线长均为5，上底为3，则腰长为___.

2.如图18-1所示，已知△ABC是边长为4的等边三角形，取AC的中点E,△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN，直线BN、GC相交于点H .△GMN绕点E旋转的过程中，线段AH的最大值是___.

3.如图18-2所示，在△ABC中，AB=5,AC=8,BC=7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，线段EF的最小值为___.

4.如图18-3所示，O为锐角△ABC的外心，若∠A=60°，则 =___.

5.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,AB=c,AC=b，则BC=___.

6.如图18-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=BD=1,AB=AC,CD<1，且∠BAC+∠BDC=180°，则CD=___.

7.如图18-5所示，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC=60°，点P在AB的延长线上，且PB=BO=3.连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，则PE=___.

8.如图18-6所示，在等腰△ABC中，AB=AC=5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F，则AD·AF=___.

9.△ABC的重心G关于BC的对称点是G'，且A、B、G'、C四点共圆，若AB=c,AC=b，则BC=___.

10.在△ABC中，AB<AC,D,M分别为BC上的点，AD平分∠BAC,BM=CM,K为AM上一点，且∠BKC=180°-∠A，则∠BKD___∠CKD（填“>”“=”或“<”）.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图18-7所示，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足∠ECD=∠ACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明:∠DFE=∠AFB.

12.如图18-8所示，△ABC内接于☉O,OM⊥BC于M，延长MO交AB于D，过A、C作☉O的切线相交于E，连接DE，求证:DE∥BC.

13.如图18-9所示，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证:∠AEB=90°.

14.如图18-10所示，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，割线交圆于C、D两点，C在P与D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证:∠DBQ=∠PAC.

15.如图18-11所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,E、F分别是直角边AB、AC上任意两点，过A向BC、CE、EF、FB引垂线，垂足分别为M、N、P、Q，求证:M、N、P、Q四点共圆.