第14讲
反比例函数及其应用

一、填空题（每题5分，共50分）

1.如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （b≠0）的图像有两个交点，其中一个交点的坐标为（-3,-2），那么另一个交点的坐标为___.

2.如图14-1所示，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°,AO=2BO，当A点在反比例函数y= （x>0）的图像上移动时，B点坐标满足的函数解析式为___.

3.如图14-2所示，△ABC的顶点A、C在反比例函数 （x>0）的图像上，∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB⊥x轴，点B在点A的上方，且AB=6，则点C的坐标为___.

4.如图14-3 所示，已知一次函数y=kx+b的图像经过点P（3,2），与反比例函数y= （x>0）的图像交于点Q（m,n）.当一次函数y的值随x值的增大而增大时，m的取值范围是___.

5.如图14-4所示，点A、B是反比例函数y= （k≠0）图像上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE<DE.连接AE、BE，若S _△ABE =7，则k的值为___.

6.如图14-5 所示，第一象限内的双曲线y= 上有一点P，当点P沿射线OA:y=-x（x>0）的方向平移2 2个单位长度时，其对应点P ₁ 恰好落在双曲线上;当点P沿射线OB:y= （x>0）的方向平移 3 5个单位长度时，其对应点P ₂ 也恰好落在双曲线上，则k=___.

7.已知定点A（a,a）,P是函数y= （x>0）图像上一动点.若点P、A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为___.

8.如图14-6所示，菱形OABC的对角线交于点M（x ₀ ,y0），双曲线y=x （x>0）经过C、M两点.若2≤x ₀ ≤4，则菱形OABC的面积的最大值为___.

9.如图14-7所示，函数y= （k为常数，k>0）的图像与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E、F.现有以下四个结论:

① △ODM与△OCA的面积相等;

②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°;

③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形，则

④若MF= MB，则MD=2MA.

其中正确的结论的序号是___.

10.两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图14-8所示，点P在y= 的图像上，PC⊥x轴于点C，交y= 的图像于点A,PD⊥y轴于点D，交y= 的图像于点B，当点P在y=xk的图像上运动时，有以下结论:

① △ODB与△OCA的面积相等;

②四边形PAOB的面积不会发生变化;

③ PA与PB始终相等;

④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.

其中一定正确的是___.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.如图14-9所示，∠APB与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，已知O为坐标原点，P（-1,-1），且∠PAO+∠PBO=45°.

（1）求∠APB的度数.

（2）判断OA·OB是否为定值，如果是，求出该定值;如果不是，请说明理由.

（3）射线PA、PB分别与反比例函数y= 的图像交于M（x ₁ ,y1）、N（x ₂ ,y2）两点，设A（0,m），令T=（x ₁ -x ₂ ）（y1y2-1），当m≤4时，求T的取值范围.

12.如图14-10（a）所示，P为∠MON的角平分线上一点，以P为顶点的∠APB的两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP ² ，我们就把∠APB叫作∠MON的亲近角.

（1）如图 14-10（b）所示，若∠MON=90°,∠APB是∠MON的亲近角，求∠APB的度数.

（2）如图14-10（c）所示，在（1）的条件下，延长AP交ON于点E，若OP=2,PB=2，求PE的长.

（3）如图14-10（d）所示，点C是函数y= （x>0）的图像上一个动点，过点C的直线分别交x轴和y轴于A、B两点，且满足BC=3CA，写出∠AOB的亲近角∠APB的顶点P的坐标.

13.如图14-11所示，直线y=x上有一点C，过点C作CD∥y轴，交x轴于点D，交双曲线y= 于点B，过点C作NC∥x轴，交y轴于点N，交双曲线y= 于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为 .

（1）求k的值.

（2）若A（3,3）,M是双曲线y= 在第一象限上的任一点，求证:|MC|-|MA|为常数6.

（3）现在双曲线y= 上选一处M建一座码头，向A（3,3）,P（9,6）两地转运货物，经测算，从M到A和从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低?

14.如图14-12所示，抛物线y=ax ² +bx（a>0）与双曲线 相交于点A、B.已知点A的坐标为（1,4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a、b、k的值.

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

15.设a是正整数，如果二次函数y=2x ² +（2a+23）x+10-7a和反比例函数y= 的图像有公共整数点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共数整数点. PcLNchvoZ5/L+vkmRGYOLTFSNWx8KWc8mohjJGcJHTCRID8YZPDGVGb5JqXuEImU