第8讲
函数的最值

一、填空题（每题5分，共50分）

1.已知函数y=-x ² +2ax+1-a在0≤x≤1上的最大值为2，则a的值为___.

2.若t为实数，关于x的方程x ² -4x+t-2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a ² -1）（b ² -1）的最小值是___.

3.函数y=4-x ² - 的最大值与最小值分别是___.

4.若 的最大值为a，最小值为b，则a ² +b ² 的值为___.

5.已知正整数x ₁ ,x ₂ ,…,x ₁₀ 互不相等，满足 ，则x ₈ -（x ₅ +x ₄ +x ₃ +x ₂ +x ₁ ）的最大值为___.

6.抛物线 交x轴的正半轴于A，与y轴交于点B.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，则P到直线AB的距离的最大值为___.

7.已知抛物线y=x ² +mx+n经过点（2,-1），且与x轴交于两点A（a,0）,B（b,0），若点P为该抛物线的顶点，则△PAB面积最小时抛物线的解析式为___.

8.如图8-1所示，抛物线 与x轴交于B、C两点（点B在C的左侧），抛物线上有一点A（x ₀ ,y ₀ ）（y ₀ >0），点A在对称轴的左边，且∠BAC=90°，点D与A关于x轴对称.设垂直于x轴的直线l与抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，那么四边形AMCN的面积的最大值为_.

9.已知抛物线y=ax ² +bx+c（0<2a<b）的顶点为P（x ₀ ,y ₀ ），点A（1,y _A ）,B（0,y _B ）,C（-1,y _C ）在该抛物线上，当y ₀ ≥0恒成立时， 的最小值为___.

10.如图8-2所示，在△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重合）,DE∥BC，交AC于E，连接CD.设S _△ABC =S,S _△DEC =S ₁ ,AD=x, ，则y关于x的函数关系式为___,y的最大值为__.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.设a为实数，讨论函数y=x ² +|x-a|+1的最小值.

12.设k、t为常数，关于x的方程kx ² +（3-3k）x+2k-6=0只有整数根，关于y的一元二次方程（k+3）y ² -15y+t=0有两个正整数根y 1 、y 2 .

（1）求k的值.

（2）当t为何值时，y 1 2 +y ² 2 有最小值?

13.已知a ² +b ² =1，对于满足条件 0 ≤x ≤ 1 的一切实数x，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0恒成立，当乘积ab取最小值时，求a、b的值.

14.如图8-3所示，已知抛物线y=a（x-1） ² +3 （a≠0）经过点A（-2,0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD.过顶点D作平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上，连接BC.

（1）求该抛物线的解析式.

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P的运动时间为t（s）.当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形?

（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t（s），连接PQ.当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.

15.如图8-4所示，抛物线y=mx ² -16mx+48m（m>0）与x轴交于A、B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E.

（1）若对任意m>0,C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）.

（2）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x ₀ ,y0），总有 成立，求实数n的最小值.