第7讲
二次函数

1.二次函数y=ax ² +bx+c的图像如图7-1所示，有下列结论，

① 2a+b>0;

图7-1

②当m≠1时，a+b≠m（am+b）;

③a+c>2;

④在-1<x<1中存在一个实数x ₀ ，使得

其中正确的是___（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

2.若抛物线y ₁ =a ₁ x ² +b ₁ x+c ₁ 与y ₂ =a ₂ x ² +b ₂ x+c ₂ 满足，则称y ₁ 、y ₂ 互为“相关抛物线”.给出如下结论:

①抛物线y ₁ 与y ₂ 的开口方向，开口大小不一定相同;

②抛物线y ₁ 与y ₂ 的对称轴相同;

③若y ₂ 的最值为m，则y ₁ 的最值为k ² m;

④若抛物线y ₂ 与x轴的两交点间距离为d，则抛物线y ₁ 与x轴的两交点间距离也为d.

其中正确的结论的序号是___（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

3.如图7-2所示，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax ² （a<0）上，则a的值为___.

图7-2

4.已知抛物线y=ax ² +bx+c与y轴交于点A（0,3），与x轴交于（1,0）和（5,0）两点，若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线的对称轴上某点F，最后运动到点A，则点P运动的总路径的最小值为___.

5.已知二次函数y=ax ² +bx+1（a≠0）的图像的顶点在第二象限，且过点（1,0）.当a-b为整数时，ab=____.

6.已知二次函数y=ax ² +bx+c（c≠0）的图像与x轴有唯一交点，则二次函数y=a ³ x ² +b ³ x+c ³ 的图像与x轴的交点个数为___.

7.设m是整数，且方程3x ² +mx-2=0的两根都大于而小于，则m=___.

8.已知抛物线y=4x ² +4x+5 与直线y=8mx+8m只有一个公共点，则 ___.

9.设二次函数y=ax ² +bx+c，当且仅当1<x<3时，图像在直线y=-2x的上方.若方程ax ² +bx+6a+c=0有两个相等的实数根，则二次函数的表达式为___.

10.函数y=x ² +（2k-1）x+k ² 的图像与x轴的两个交点都在直线x=1的右侧，则k的取值范围是___.

11.已知m、n、p为正整数，m <n.设A（-m,0）,B（n,0）,C（0,p）,O为坐标原点.若∠ACB=90°，且OA ² +OB ² +OC ² =3（OA+OB+OC）.

（1）证明:m+n=p+3 .

（2）求图像经过A、B、C三点的二次函数的解析式.

12.对于给定的抛物线y=x ² +ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）.

（1）证明：抛物线y=x ² +px+q通过定点.

（2）证明：下列两个二次方程x ² +ax+b=0与x ² +px+q=0中至少有一个方程有实数根.

13.若三个非零实数x、y、z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三组数”.

若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x ₁ ,0），与抛物线y=ax ² +3bx+3c（a≠0）交于B（x ₂ ,y2）和C（x ₃ ,y3）两点.

（1）求证:A、B、C三点的横坐标x ₁ 、x ₂ 、x ₃ 构成“和谐三组数”.

（2）若a>2b>3c,x ₂ =1，求点与原点O的距离OP的取值范围.

14.已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x ₁ ,0）和B（x ₂ ,0）（x ₁ <x ₂ ）两点，与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设，若AM∥BC，求抛物线的解析式.

15.已知二次函数y=x ² +bx-c的图像经过两点P（1,a）,Q（2,10a）.

（1）如果a、b、c都是整数，且c<b<8a，求a、b、c的值.

（2）设二次函数y=x ² +bx-c的图像与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程x ² +bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积.