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1.31个同学围成一个圆圈，发现无论怎样坐，都必然有两个男同学之间至少有两个女同学，而没有别的男同学。那么男同学最多有___人.
2.17个同学参加一次考试，考试为3道判断题(答案只有对或错）。每位同学都在答题纸上依次写上了3个题目的答案，那么至少有___个同学的答案是一样的.
3.从1,2,3,…,2019,2020这些自然数中，最多可以取出___个数，使得其中每两个数的差不等于4.
4.从1,3,5,7,…,97,99中最多可以选出___个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数.
5.有2020位观众在大礼堂看演出，演出间隙举行一个趣味抽奖活动。主持人在主席台上写了10个数字:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,要求每位观众从中挑选至少两个数，最多五个数求和，然后统计这些和，写的数字之和出现次数最多的那些观众得奖。统计结果发现确实有人得奖了，那么至少有___位观众得奖.
6.有210张卡片,1张1号,2张2号,3 张 3 号,…,20 张 20 号，那么至少要从中取出___张卡片才能保证一定有7张号码相同的卡片.
7.时钟的表盘上按标准方式标着1,2,3,…,11,12这12个数，在表盘上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，则n的最小值为___.
8.从1~100这100个自然数中最多能取出___个自然数，使得任何两个自然数的差都不能等于3,也不能等于4.
9.10个小朋友在入学考试中古诗词总分为154分，其中得分最多的小朋友得了满分20分，且他们得分为互不相同的整数，那么得分最少的小朋友为___分.
10.某体育馆里有足球、篮球和排球3种球。一个班的50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个。那么最少有___名学生借到球的数量和种类完全一样.
11.任给145个自然数，请证明其中必有13个数之和为13的倍数.
12.在边长为1的等边三角形内,任意放入10个点,求证:必有2个点之间的距离不大于
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13.有3个抽屉一共放了26个苹果。这三个抽屉的规格不一样，一号抽屉被分成了两格，二号抽屉被分成了三格，三号抽屉被分成了四格。证明下面两种情形必有一种出现：要么有一个小格中有不少于4个苹果，要么有一个抽屉中有不少于11个苹果.
14.一个口袋里面装有若干卡片，每个卡片上面写着1~14中的一个正整数，每个数的卡片有5张。现在闭着眼睛从里面随机抽取，问:在最坏的情况下，要抽取多少张，才能保证至少有5张卡片上面的数两两互质?
15.从1~50中任选11个数，证明：在2~50中一定存在一个数与这11个数都互质。是否能从1~50中选出12个数，使得对于2~50中的任何一个数，都能从这12个数中选出一个来与它不互质?