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1.观察以下等式:3 2 -1 2 =8,5 2 -1 2 =24,7 2 -1 2 =48,9 2 -1 2 =80,…，由以上规律可以得出第 n 个等式为___.
2.观察下列砌钢管的横截面图（见图5-1）:
图5-1
则第 n 个图的钢管数是___（用含 n 的式子表示）.
3.将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，如图5-2所示，按规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④.若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，则矩形⑧的周长为___.
图5-2
4.图5-3所示图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，……，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为___.
图5-3
5.在1,2,3,…,39,40数列中能找出___对数字使它们的差的绝对值为质数.
6.若规定：①{ m }表示大于 m 的最小整数，例如:{3}=4,{-2.4}=-2;②[ m ]表示不大于 m 的最大整数，例如:[5]=5,[-3.6]= -4,则使等式2{ x }-[ x ]=4成立的整数 x =___.
7.下面是按一定规律排列的一列数:
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是第___个数.
8.有依次排列的3个数:3,9,8.对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8,继续依次操作下去，那么从数串3,9,8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和为___.
9.一跳蚤在一直线上从 O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳4个单位，第3次向右跳9个单位，第4次向左跳16个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离 O 点的距离是___个单位.
10 .一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”。例如,16=5 2 -3 2 就是一个“杨梅数”。则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”为___.
11.已知一列数按如下规律排列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项为2 0 ,接下来的两项为2 0 、2 1 ,再接下来的三项为2 0 、2 1 、2 2 ,依此类推.
（1）第10个1是这列数的第几项?
（2）该列数的第2020项为多少?
12.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图5-4所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）。设 a ij （ i 、 j ∈N + ）是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数的第 j 个数（如 a 42 =8）.
（1）若 a ij =2020,求 i 、 j 的值.
（2）记三角形数表从上往下数第
n
行各数的和为
b
n
,令
c
n
=
.若数列{c
n
}的前
n
项和为
T
n
,求
T
n
.
图5-4
13.将数字1、2、5、4、6填入图5-5中的小圆圈中。从1开始顺时针依次数两个数字可产生5个两位数12、25、54、46和61.从1开始逆时针依次数两个数字可产生另5个两位数16、64、45、52和21.
（1）验证:12 2 +25 2 +54 2 +46 2 +61 2 =16 2 +64 2 +45 2 +52 2 +21 2 .
（2）对任意5个不等的非零数字
a
、
b
、
c
、
d
、
e
,可以生成10个两位数
和
,
请证明:
.
图5-5
14.设 x 1 , x 2 , x 3 ,…, x 2016 是整数，且满足下列条件:
（1）-1≤ x n ≤2（ n =1,2,3,…,2016）;
（2） x 1 + x 2 + x 3 +…+ x 2016 =206;
（3）
=2016.
求
的最小值和最大值.
15.已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080.现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完。首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为 S 1 ,满足 S 1 ≤120,且 S 1 要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为 S 2 ）；如此继续构成第三批（其数字之和为 S 3 ）；第四批（其数字之和为 S 4 ）；……直到第 n 批（其数字之和为 S n ）取完所有卡片为止.
（1）判断 S 1 , S 2 ,…, S n 的大小关系，并指出除第 n 批外，每批至少取走的卡片数为多少?
（2）当
n
=1,2,3,…,
N
-2时，求证:
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明: N ≤11.