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1.如果自然数 a 和 b 满足 a 2 =2020+ b 2 ,那么 a - b =___.
2. p 是任意三个相邻偶数之积，则能整除所有这样 p 的最大整数是___.
3.多米诺骨牌是俄罗斯流行的一种儿童玩具，牌是由塑料制成的1×2矩形，共28张，每张牌上的两个1×1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0,1,2,…,6不等，其中有7张牌两端的点数一样，即两个0,两个1,…，两个6;其余21张牌两端的点数不一样，刚好是所有不同点数的组合。所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如:
将一副多米诺骨牌按规则连成一条链，如果在链的一端为5点，那么在链的另一端为_____点.
4 .一本故事书共载有30个故事，它们的篇幅分别为1,2,…,30面.从书的第一面起就刊载故事，后续的每一个故事都另起一面。则从奇数编号的面起头的故事最多有___个.
5.若一个素数既是某两个素数的和，又是某两个素数的差，我们称这样的素数为“好的素数”，则所有“好的素数”之和为___.
6.已知
,其中
p
为素数，则满足条件的整数对（
x
,
y
）有_____个.
7.设有2019个自然数，记为 a 1 , a 2 , a 3 ,…, a 2019 ,若 a 1 +2 a 2 +3 a 3 +…+2019 a 2019 = S 是偶数。则 a 1 + a 3 + a 5 +…+ a 99 + a 2019 是___数。（填奇或偶）
8.在某个星系的每个星球上，都有一位天文学家在观察最近的星球。星球之间的距离各不相等，若星球的数目为奇数，则至少有___个星球无人观察.
9.将1,2,3,…,2018,2019重新排列，记为 a 1 , a 2 , a 3 ,…, a 2018 , a 2019 ,令 k 为 a 1 -1, a 2 2, a 3 -3,…, a 2018 -2018, a 2019 -2019中偶数的个数，那么 k 的最小值为___.
10.设标有A、B、C、D、E、F、G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在ACEG四盏灯开着，其余三盏灯是关的。小刚从灯A开始，顺次拉动开关。即从A到G,再从A到G……这样拉动了2020次开关后，开着的灯分别是___.
11.在8×8的国际象棋棋盘上放有8枚棋子，每一横行和每一纵列中都恰有1枚。证明：在棋盘上的黑色方格中共放有偶数枚棋子.
12.证明：不存在整数
a
、
b
、
c
、
d
,使得
abcd
-
a
=
,
abcd
-
a
=
abcd
-
c
=
,
abcd
-
d
=
13.黑板上写着乘积 a 1 · a 2 ·…· a 100 ,其中 a 1 , a 2 ,…, a 100 都是正整数。如果将其中的一个乘号改为加号（保持其余乘号），我们发现在所得的99个和数中有32个是偶数。试问，在 a 1 , a 2 ,…, a 100 中至多有多少个偶数?
14.已知素数 p ≤1000, m 、 n 均为大于1的自然数。试求所有的 p ,使得2 p +1= m n .
15.已知 n × n × n 的正方体由单位正方体堆砌而成。给定一条封闭的折线，每一段连接两个相邻单位正方体（具有公共侧面的单位正方体）的中心。将被折线穿过的单位正方体的侧面称为被标注的。证明：可以将所有单位正方体的棱都染为两种颜色之一，使得在每个被标注的面上，各种颜色的棱的数目都是奇数，而在每个未被标注的面上，各种颜色的棱的数目都是偶数.