第22讲
计数方法与原理

一、填空题（每题5分，共50分）

1.若在同一平面内画 n 条直线，则平面最多被分成___部分.

2.如图22-1所示，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线 a 、 b 都相交，构成若干个“#”形。此图中共有___个“#”形.

3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___种.

4.如果一个三位正整数“ a ₁ a ₂ a ₃ ”满足 a ₁ < a ₂ 且 a ₃ < a ₂ ,则称这样的三位数为凸数（如120、343、275），那么所有凸数的个数为___.

5.如图22-2所示有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块颜色各异，每块只涂一色，共有种涂色方法.

6.已知 l ₁ 、 l ₂ 是两条异面直线，在 l ₁ 上有 A ₁ 、 A ₂ 、 A ₃ 三点，在 l ₂ 上有 B ₁ 、 B ₂ 、 B ₃ 、 B ₄ 、 B ₅ 五点，这八个点可以确定___个不同的平面。（异面直线是指不在同一平面上的两条直线）

7.给定一条具有37段的不自交的闭折线，作出其上每一段所在的直线，则最少得到___条互不相同的直线。（闭折线是指平面上若干条线段顺次首尾相接，且每边都有两邻边的折线）

8.数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3,1+2,2+1,1+1+1.那么,2020表示为1个或几个正整数的和的方法有___种.

9.有16支球队参加足球冠军赛，每两支球队都比赛一场，胜者得3分，败者得0分，若为平局，各得1分。如果一支球队的总得分不少于它所可能得到的最多分数的一半，我们就称它为“成功的”。那么，比赛中最多可能产生出___支“成功的”球队.

10.2020个学生参加数学竞赛，竞赛共有6道试题，学生小夏只解出了1道题，而且

a）至少解出1道题的学生人数是至少解出2道题的学生的4倍;

b）至少解出2道题的学生人数是至少解出3道题的学生的4倍;

c）至少解出3道题的学生人数是至少解出4道题的学生的4倍;

d）至少解出4道题的学生人数是至少解出5道题的学生的4倍;

e）至少解出5道题的学生人数是解出所有6道题的学生的4倍.

那么，有___个学生1道题都未解出.

二、解答题（每题10分，共50分）

11.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语,3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?

12.从-3、-2、-1、0、1、2、3、4这8个数中任选3个作为二次函数 y = ax ² + bx + c 的系数，请问：能组成多少条图像经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

13.现有长为150cm的铁丝，要截成 n （ n >2）小段，每段的长为不小于1（cm）的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求 n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的 n 段?

14.在长凳上坐着一个男孩和一个女孩，朝着他们又走来20个人，每个新来者都坐在某两个已经坐下的人之间。如果一个女孩坐到某两个已经坐下的男孩之间，将她称作大无畏的；相应地，如果一个男孩坐到某两个已经坐下的女孩之间，将他称作大无畏的。当大家都已经坐下时，长凳上的男孩与女孩恰好相间排列。试问：曾经有过多少个大无畏的人?

15.每个代表队由 n 个学生组成，他们一起做游戏。每个人都戴上一顶帽子，帽子有 k 种不同颜色，这 k 种颜色是大家事先知道的。但每个人都不知道自己头上帽子的颜色（看不见自己头上的帽子），可以看见其他人头上的帽子，不许相互交流信息。听到哨音后，每个人都选择一条围巾。代表队里有多少人所选的围巾与自己头上帽子的颜色相同，该队就得多少分。如果一个代表队事先研究好每个成员的行事策略，那么该队最多能保证拿到多少分?

试分析以下两种情况，该队的最高得分:

（1）如果 n = k =2.

（2）如果 n 与 k 是任意两个给定的正整数. R6MZXB5esr9fG7epzS5KiO2yx6sH00IfK19j6Xxz94D9ELYYEMhBnX56EqE635Gu