第2章
无穷之外
一位少年解决了一场数学危机

数学是一切关于自然现象的确切知识的基础。

——戴维·希尔伯特，1900年

冯·诺依曼的第一篇论文对学术数学的规范和惯例进行了介绍，论文发表时，他只有17岁。他后来由研究纯数学转向解决现实世界中的问题，对解除数学的根本危机所做的贡献出乎意料地为他达成知识飞跃奠定了基础，这一飞跃令现代计算机成为现实。之后，关于数学极限的激烈辩论将会适时催生出苹果、IBM和微软。

冯·诺依曼的独特才华在他刚入学时就显露出来了。他引起了路德教会学校的传奇数学老师拉斯洛·拉茨（László Rátz）的注意，这位老师在匈牙利非常受人尊敬，甚至布达佩斯有一条街道就是以他的名字命名的。拉茨很快得出结论，比起自己所能提供的帮助，更加先进的数学教育一定会使冯·诺依曼受益更多。他想办法和马克斯见了面，并主动提出为扬奇在布达佩斯大学组织课外辅导。拉茨承诺将让他的学生继续享受路德教会学校的人文科学教育，让其参加所有的课程（包括数学，虽然有点儿多余）。马克斯深知儿子的数学天赋，便同意了。拉茨拒绝为自己所做的一切收取任何费用，他觉得自己有教扬奇的特权就足够了。

少年冯·诺依曼总是能够立刻就给他的新导师们留下深刻印象。他的首位导师，后来成为斯坦福大学数学系主任的加博尔·赛格（Gábor Szegö）， 在他们第一次见面后被感动得热泪盈眶。在这些导师里，对冯·诺依曼影响最大的要数费耶尔·利波特，他是匈牙利数学界的先驱，把匈牙利最具才华的数学明星吸引到了自己的身边，其中就包括早年的赛格本人。“几乎没有哪个聪明人，更不用说有天赋的人，能够对他讲课的魅力不为所动，”匈牙利数学家乔治·波利亚说，“他们忍不住模仿他在强调某个知识点时的腔调和手势，这些都是他个人对他们的影响。” 费耶尔对这些年轻的后起之秀是真的上心，而非仅仅出于为师之道。“小约翰尼·诺依曼现在如何？”多年之后，他还会这样给赛格写信询问，“请告诉我，到目前为止，你注意到他在柏林期间都受到了哪些影响。” 赛格那时在柏林大学教书，而“小约翰尼”显然正在全力以赴地学习本科化学。（他从柏林大学声名远播的数学系的最优资源中获取了最大收获。）

费耶尔和他以前的另一位学生迈克尔（米哈伊）·费克特感受到了教导少年冯·诺依曼所带来的震撼。这三位导师——赛格、费耶尔和费克特对正交多项式有共同的兴趣，因此正交多项式顺其自然地成为冯·诺依曼第一篇论文的主题。正交多项式是一组独立的数学函数，相加之后可以组成任何其他函数。举例来说，一艘船在海上复杂多变的起伏和摇摆，可以被分解成更简单的函数的和（一个被称为谐波分析的过程），将其输入计算机中即可模拟该船的运动。这个方法可以使复杂的现实世界的数据变得更容易管理，这就是正交多项式经常应用于物理学和工程学中的原因。

对数学家来说，多项式的一个关键特征是其中的“零”，即它们在坐标的何处与x轴相交。冯·诺依曼的第一篇论文 是与费克特合著的，该文探讨了切比雪夫多项式中的零，其发现完全缘于这位俄国数学家对蒸汽机活塞的上下运动转化为车轮的圆周运动的问题的痴迷。

这是冯·诺依曼对学术数学的规范和惯例的介绍。论文手稿完成并送去发表之时，他只有17岁。与小说家一样，数学家也有自己的风格。冯·诺依曼的观点第一次被公开，却已经或多或少地完全成形。“作为一名数学家，”弗里曼·戴森说，“约翰尼独特的天赋是能将所有数学领域中的问题都转化为逻辑上的问题。”

他能够直观地看到问题的逻辑本质，然后使用简单的逻辑规则来解决问题。他的第一篇论文就是体现他思维方式的一个极好例子。一个看似属于几何范畴的定理，探究了某个复变函数等于零的可能取值范围，却被转化为纯逻辑的陈述。所有的几何学难题都消失了，这个定理的证明变得简洁而又容易。

冯·诺依曼在后来的任何工作中再也没有提到这篇论文，但受到这位神童启发的费克特却将其余生的大部分职业生涯都投在了这个课题上。

此时，匈牙利参加了第一次世界大战并战败。但布达佩斯从未接近过前线，瓦齐大道上的有钱人也一如既往地过着他们的日子。1919年，一场政变及（继苏俄之后）欧洲第一个共产主义政府的建立，打破了他们的生活。这些都是由库恩·贝拉领导的，他是一名叛教的匈牙利犹太人，作为苏俄的战俘而投向了革命事业。库恩表面上是新政府的外交人民委员，但他的群众基础确保了他掌握政权。“因为群众支持我，”他对列宁说，“所以我在革命管理委员会的个人影响力如此之大，无产阶级专政已经稳固了。”

那些身穿皮夹克背着枪的执法人员，在布达佩斯的街道上巡逻，人们把他们称作“列宁小子”。冯·诺依曼一家已经收拾好行李，准备离开布达佩斯，前往亚得里亚海滨的一个度假屋，但就在成行之际，马克斯却把问题解决了，新政府不会征用他们在布达佩斯的公寓。“在人人平等享有设施的指导原则下，大型公寓都要被拆分。”尼古拉斯说，他当时只有7岁。但负责这项任务的执法人员很快就被说服而将此事按下不提。“在钢琴上的一件重物下面，父亲放了一沓英镑，我不知道有多少钱。那位戴着红袖章的官员立马走上前去，把钱拿走了，革命管理委员会的人也跟着离开了，我们则留在了公寓里。”

为了重新建立匈牙利在一战前的边界，库恩发动了一场仓促而混乱的战争，而罗马尼亚军队随之攻入布达佩斯，推翻了库恩那成立仅133天的匈牙利苏维埃政权。库恩最终逃亡苏俄，并于1937年在那里被捕，罪名是他是托洛茨基主义 者和人民公敌。库恩政权所造成的混乱局面一直深深地印在冯·诺依曼的心里。

与此同时，马克斯离开了布达佩斯，前往维也纳与海军上将霍尔蒂·米克洛什的支持者取得联系。霍尔蒂是一名战争英雄，将领导各地聚集起来反抗库恩的队伍。在库恩政府倒台后的混乱中，霍尔蒂的军队横扫了整个匈牙利，对他们认为支持共产党的人进行报复。在库恩的短命政府中，犹太人占据了不少重要岗位，很快他们就成了人们泄愤的焦点。在“红色恐怖”期间，“列宁小子”及其同伙致使500人死亡。在随之而来的“白色恐怖”中，霍尔蒂的军官们又屠戮了大约5 000人。强奸、酷刑和公开绞刑都是司空见惯的。尸体被肢解得七零八落，以作为对其他人的警告。霍尔蒂温和地训斥了他最残忍的副官之一：

在国内各地发现了许多犹太人的尸体……这（霍尔蒂强调）为外国媒体刻意针对我们提供了额外的弹药……这是徒劳的。我试图说服他，那些自由主义的媒体无论如何都会反对我们，不管我们只杀了一个犹太人，还是把他们全杀了，结果都不受影响。

冯·诺依曼一家被霍尔蒂的军队放过了，而且好像奇迹一般，在如此动乱的环境之中，冯·诺依曼居然自始至终都能几乎不受干扰地上学。在那几年里，他的两个同学后来都成了他的终生好友。尤金（耶诺）·维格纳在路德教会学校比他高一年级。威廉（维尔莫什）·费勒［William（Vilmos）Fellner］则比他低一年级，后来成了一位著名的经济学家和耶鲁大学教授。他们记得，有个男孩儿敏锐地意识到自己聪明过人，但他既不特别受欢迎也不讨人厌。冯·诺依曼对别人的感受尤其敏感，这一点在那些有着非凡头脑的人身上很罕见，他总是小心翼翼地不让自己显得傲慢，但不能不让自己脱颖而出。“每当我和冯·诺依曼交谈时，”维格纳谈及他的朋友时说，“我总是觉得，只有他完全清醒，我却还在梦中。” 这两位朋友回忆道，扬奇很快就不再玩小孩子们玩儿的游戏了，并以一种令人不安的、超然的人类学家的态度观察他周围的人。

现代主义此时正席卷数学领域，一如它横扫过艺术、音乐和文学领域。1921年，正当冯·诺依曼在文科中学里为期末考试复习时，不满于现实主义局限性的彼埃·蒙德里安正在画着《构图I》，这是他的第一幅以网格为基础，用红色、蓝色和黄色方块布局的抽象作品。诗人、评论家纪尧姆·阿波利奈尔将激进分子的动机归纳为：“真正的相似已经没有任何意义，因为为了本真及他所认为存在却又没有显现的更高的本质，艺术家将一切都牺牲掉了。”

在冯·诺依曼的学生时代，这种透过事物表面看问题的冲动，决绝地蔓延到了数学领域。人们对一千年或更久以来被普遍接受的假说进行了探索，并发现其中存在不足之处。接踵而至的根本危机并不是那些胡子拉碴的知名人士相互间貌似彬彬有礼的争论，而是一场对数学的核心和灵魂的争夺，这吸引了当时一些最优秀的头脑，其影响一直延续至今。数学的目标和地位将永远被改变。数学曾经被视为神圣的真理之源，但现在，它将被证明自己完完全全是人类的事业。数学并不完美，而且注定将一直如此。

冯·诺依曼十几岁时就了解了数学领域的动荡，而他为应对这场危机的种种努力，以通过发表一系列精彩论文的形式，巩固了他作为最高等级数学天才的声誉。他后来由研究纯数学转向解决现实世界中的问题，对解除数学的根本危机所做的贡献出乎意料地为他达成知识飞跃奠定了基础，这一飞跃令现代计算机成为现实。随着时间的推移，关于数学的边界与局限性的激烈辩论将会适时催生出苹果、IBM和微软。

数学根本危机的源头在于发现了欧几里得《几何原本》中公理的缺陷，许多世纪以来，这本书一直是几何学的标准教科书。欧几里得提出了5条几何公理，他认为这些都是可以自证的（指他的公理或公设）。他通过一系列的逻辑推理步骤，证明了一些更复杂的定理，包括毕达哥拉斯定理（即勾股定理）：直角三角形最长的边的平方等于其他两边的平方之和。这种“公理方法”是数学的基石，行星被认为是通过《几何原本》所描述的三维空间运行的。在19世纪初，只有欧几里得几何学被认为是真正合理的。“欧几里得几何学是关于世界的一个真理宝库，它和任何知识一样确定无疑，”历史学家杰里米·格雷说，“这也是牛顿物理学的空间。这毕竟是学校正儿八经地灌输给人们的几何学。如果连它都难以为继，那还有什么知识是有用的呢？”

19世纪30年代，为了打破这一几何学的正统，另一位匈牙利数学天才鲍耶·亚诺什和俄国人尼古拉·罗巴切夫斯基迈出了第一步。两人各自独立地发展了几何学，证明欧几里得五大公设的第五条公设“平行公设”是不准确的。与其余四条公设相比，第五条殊为不同。例如，第二公设指出，任意线段均可无限延长。即使是那些最能抬杠的人，对此也都是难以争辩的。而第五公设指出，如果同一平面内两条直线与第三条直线相交，使其中一侧的两个内角之和（在下图中标记为∠a和∠b）小于两个直角之和（即180度），那么这两条直线如果延伸得足够远，则必然会在延伸的那一侧相交。相反，如果∠a和∠b相加达到180度，则这两条直线永远不会相交，被称为平行线。

对数学家来说，这看起来不像一个公设，更像一个需要加以证明的定理。在2 000年的时间里，许多人试图证明，但都以失败告终。鲍耶的父亲也是一名几何学家，当听说鲍耶打算求证第五公设时，他力劝儿子赶紧停下：“接受我的教训吧，我当时就是想更深入地研究与平行线相关的东西，可最终还是一无所获，但这已经夺去了我毕生的美好和所有的时间。” 然而，当儿子向他展示自己的成果时，老鲍耶的担忧有所减轻。

鲍耶和罗巴切夫斯基的发现如今被称为双曲几何。尽管欧几里得的五大公设所涉及的表面都是平的，就像一张纸一样（曲率处处为0），而一个双曲表面则有如马鞍般的弯曲表面，在每个位置上存在远离彼此的弯曲。想象一下那些司空见惯的可叠在一起的薯片，或者一大朵布满褶皱的木耳吧。在这些物品的表面上（曲率处处为负），许多在学校里学的那些熟悉的几何规则不复存在：例如，三角形的三个角之和小于180度。“从无到有，”鲍耶在致父亲的信中写道，“我创造了一个奇异的新宇宙。”

19世纪50年代，继鲍耶和罗巴切夫斯基之后大约20年，德国数学家黎曼实现了几何学上的又一次飞跃。黎曼的博士论文现在被公认为有史以来最伟大的数学论文之一，按当时最著名的数学家高斯所说：“该论文具有叹为观止的独创性。”鲍耶和罗巴切夫斯基描绘了平面在空间中的弯曲，而黎曼描绘的表面则经常以难以想象的方式弯曲和形变。黎曼的数学方法可以像描述人们熟悉的三维空间一样简单地描述任何维度的空间（即超空间）。半个多世纪后，黎曼几何被证明“极妙地适合”描述爱因斯坦广义相对论中弯曲的四维时空。

到19世纪后期，欧几里得著作中的许多其他假设和证明也被质疑。一些人认为，是时候在新的基础上从头开始建立几何学了。戴维·希尔伯特承担了这项任务，他后来成为20世纪早期最有影响力的数学家。他后来的成果——1899年出版的德文版《几何基础》，以其清晰的推理被认为是欧几里得《几何原本》的正统继承者。作为一本数学畅销书，其影响可谓立竿见影。

希尔伯特的目标，就是要从他的前辈们的著作中提炼出可靠的方法来对任何初等几何进行推理。为了避免读者依赖直觉，他把学校教授的几何学中那些熟悉的术语（点、线、面等）的含义全部清空了。在他的书中，这些术语仅是数学对象的简单方便的标签，而这些对象将由它们之间的数学关系严格定义。 希尔伯特多年前就解释过：“人必须能够在任何时候描述出桌子、椅子和啤酒杯，而不是点、直线、平面。” 这种针对几何学的令人难以置信的抽象方法的优势在于，只要它们遵守他精心设计的规则，那么他的研究发现对任何物体就都是适用的。

希尔伯特定义公理的严谨程度远远超过欧几里得。经过希尔伯特改进的公理化方法阐明了20世纪数学的发展方向。希尔伯特关于几何基础的书，巩固了他作为伟大数学家的声誉。不到40岁的他在格丁根大学地位稳固，并开始通过吸引资金和人才来证明自己是一位优秀的管理者。到1920年，世界上没有一个大学的数学系能与格丁根大学媲美。

作为这门学科最重要的代言人，希尔伯特要求所有的数学，其实还有所有的科学，都要像他的新几何学一样无懈可击。1880年，著名的生理学家埃米尔·杜布瓦-雷蒙宣称，有一些问题（他称之为“世界之谜”），比如物质和力的终极本质，是科学永远无法回答的。正如他所说的：“我们现在不知道，将来也不会知道。”

希尔伯特对此完全不认同。1900年，他发声反对杜布瓦-雷蒙的悲观主义，否认知识存在这样的限制。他认为，每个问题都有一个明确的答案，即使这个答案表明，要回答最初的问题是不可能的。在当年于巴黎举行的国际数学家大会上，他提出了23个问题，这些问题构成了20世纪的数学。“对我们来说，没有什么是不可知的，依我看，自然科学中也根本不存在什么不可知的。”他甚至在30年后还依然雷霆发声：“为了反对愚昧无知的人，我们的口号是：‘Wir müssen wissen—wir werden wissen’（德语，意思是：我们要知道，我们会知道）。”许多人站在希尔伯特一边，渴望使数学（以及按希尔伯特的逻辑所说的各门科学）坚如磐石。但他的计划几乎在构思之初就陷入了困境。

1901年，英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在集合论的关键处发现了一个悖论，集合论是20多年前由格奥尔格·康托尔开创的一个数学分支。康托尔是一位在俄国出生的才华横溢且虔诚的德国新教徒，也是第一位发现存在大量不同的无穷数，而且有些无穷数明显比其他无穷数大的数学家。康托尔用希腊语的大写字母Ω（欧米茄）代表无穷数中最大的那个“绝对无穷大”。他说，只有在上帝的心中，Ω才能真正地以其全部的荣耀而受到尊崇。意识到这些发现的争议性后，他把他的新无穷数称为“超限数”，以区别于旧的无穷数概念。他说，他的洞察力直接来自上帝。

对此并非人人都认同。“上帝创造了自然数，其他的不过是人为之作罢了。”同时代的德国数学界大拿利奥波德·克罗内克愤愤不平道，他认为康托尔搞无穷数是可疑和令人反感的。他称康托尔是“江湖骗子”，是“年轻人的腐蚀剂”，并粉碎了康托尔从哈雷大学到名气更大的柏林大学任教的希望。康托尔在情感上没有做好应对外界对其无穷数的刻薄反应的准备。克罗内克的攻击使康托尔骤然陷入一阵抑郁状态，后者开启了多次住进疗养院之路。

在罗素开创事业之初，集合论被认为更杰出而非更可疑。数学最终处理的并非有限数组。例如，如果一个数学家想要证明一些关于质数的东西，那么他的目标通常是找到一个定理，而这个定理要同样适用于无限多的所有质数。数学家们接受了康托尔的理论，把它作为一种强大的工具来处理和证明关于无限大集合的定理。

然而，罗素悖论的威胁在于，其对集合论的打击可能比早期的意识形态分歧要严重得多。问题是这样的：举例来说，设想一个由所有可能类型的奶酪蛋糕组成的集合，此集合可以包括任意数量的不同奶酪蛋糕（纽约奶酪蛋糕、德国奶酪蛋糕、柠檬乳清干酪等），但是因为这一集合并不是字面意义上的奶酪蛋糕，所以“所有种类的奶酪蛋糕组成的集合”并非这一集合自身的元素。但是，从另一方面来讲，“除奶酪蛋糕外的所有东西组成的集合”又会是它自身的一个元素。

但是，罗素想知道对于“包含所有不包含自身的集合”的集合是否存在。如果说该集合不是其自身的元素，那么根据定义，它反而应该是其元素（因为其元素并不包括其自身）。相反，如果说该集合是自身的元素，那么它就不应该成立（因为它是成立的）。简而言之，这就是罗素悖论 。罗素的分析显示，这一悖论在形式上与多种悖论相似，其中包括“说谎者悖论”（即“这句话是假的”）。“一个成年人花时间在这些琐事上似乎是不值得的，”他抱怨道，并急切地想找到一个解决办法，“但我能怎么办呢？”

罗素本已开始一项巨大的尝试，期望能精确描述数学的全部逻辑基础，但他的发现却使自己陷入了绝望。由于工作无法取得进展，他把接下来的几年时间全都用来解决他发现的悖论，但没有成功。“每天早上我都会坐在一张白纸前，”他说，“从早到晚，除了吃午饭的短暂时间，我都会一直望着那张白纸发呆。可常常到了晚上，那张纸上还是空白一片……看来我的余生恐怕都要在傻盯着这张白纸的过程中消耗殆尽了。”

罗素的悖论和其他类似悖论有可能威胁开创数学的基石，随之威胁希尔伯特在更严密的基础上重建数学的计划。希尔伯特感到震惊，他呼吁数学家们都来应对罗素的发现所引发的危机。他发誓：“没有人能把我们逐出康托尔为我们创造的这个天堂。”

并非所有数学家都像希尔伯特那样下定决心要拯救康托尔的集合论。有一派数学家，人称“直觉主义者”，由好斗又充满活力的年轻荷兰数学家L. E. J.布劳威尔（L. E. J. Brouwer）领头，他们辩称罗素的悖论表明数学正在冲击人类思维的极限。布劳威尔对超限数很警惕。他主张，没有理由相信逻辑规则可以应用于数学中的一切，特别是不能应用于康托尔的疑点重重的无限集。例如，排中律规定，一个命题或它的否定为真。所以，“我是一条狗”要么是对的，要么是错的，但不能既对又错。布劳威尔认为，要针对一个集合令人信服地证明这一点，必须检查其中的每一个元素，以确定该命题是否成立。对一个无限大的集合的元素这样做，当然是不可能的。布劳威尔声称，对无限集的忽松忽严，才导致让罗素困惑不已的悖论的发现。

在格丁根大学，希尔伯特非常愤怒。他曾经支持布劳威尔申请阿姆斯特丹大学的教授职位，但现在他发起了一场运动，要求将布劳威尔从数学领域中最负盛名的期刊《数学年鉴》（Mathematische Annalen）的编辑委员会中除名。作为该刊编辑之一的爱因斯坦，认为这场争执完全被夸大了，是一场“Froschmäusekrieg”（德语俗话，意思是“青蛙与老鼠的战争”，用来描述令人痛苦却并不重要的争论）。然而，对希尔伯特来说，这绝不仅是关于数学的细枝末节的某种琐碎争吵，其中蕴含着更大的利害关系。“如果数学思维有缺陷，”他问道，“那我们该到哪里寻找真理和确定性呢？”

对任何有远大抱负的年轻数学家来说，如果下决心大展宏图，那么从数学中拯救数学的想法就是不可抗拒的。尽管年纪还小，但冯·诺依曼已经为完成这项任务做了充分的准备。他曾在周末散步时热情地为维格纳讲解集合论的乐趣，当时他才11岁。1921年，这位大大咧咧的17岁少年试图帮助希尔伯特解决这个困扰了世界上许多聪明数学家的危机。他的第一个贡献就是使数字本身从罗素发现的悖论中保留下来。

康托尔理论中的数的概念与集合的两个本质特征有关：基数和序数。基数是对一个集合大小的度量，例如，一个有3个元素的集合，其基数为3。而序数性表示的是一个集合是如何排序的。这与序数有关（第1、第2、第3……），具体指定集合中元素的位置。基数被正式定义为所有相等基数集合的集合。也就是说，一个包含5个元素的集合与所有其他包含5个元素的集合具有相同的基数（5）。序数也以类似的方法被定义。现在来看，这是一种危险的循环论证。如果数学家想要操纵集合和证明定理，这两个概念都是必需的。冯·诺依曼想要从集合定义中删除所有有关“集合的集合”的说法，这是拯救“康托尔乐园”的第一步。

冯·诺依曼的论文展现出一种自信，这种自信只可能来自一位功成名就的大师，而绝不可能来自一个十几岁的学生。他论文的第一段只有一句话：“本文的目的是使康托尔序数的概念明确而具体。” 在总共10页的描述中，他用17个经过仔细论证的逻辑步骤来达成上述目的。采用简单却不那么精准的语言，冯·诺依曼首先定义序数“第1”为空集。接着，他定义了一个递归关系，这样下一个最高序数就是所有比它小的序数的集合。因此，“第2”是只包含“第1”的集合（“第1”是空集合）。“第3”是包含“第2”和“第1”的集合（“第2”是包含空集的集合，“第1”是空集本身）。“第4”是包含前面序数“第3”、“第2”和“第1”的集合。以此类推。这个过程有点儿像用乐高积木依次搭建越来越高的塔。“第1”可能就是1块积木；“第2”是1块积木，另加相邻的双层塔。你可以一直这样继续下去，直到达到你选择的序数。

基数可以通过与序数“一一对应”的方式来定义。也就是说，将它们彼此配对：0与第1（空集），1与第2（包含一个元素），2与第3（包含两个元素），以此类推。冯·诺依曼的定义看起来是如此简单，以至于一个非数学家可能会好奇他为什么要用10页的内容来表达他的想法。答案或许是，有许多看似简单的想法，最终都包含着令人不安的矛盾。冯·诺依曼遵循希尔伯特的严密的公理化方法，就是想要确定自己的想法并非如此。在冯·诺依曼的论文发表近100年后，他对基数和序数的定义仍然是当今数学的标准定义，这是他成功的一个证明。

然而，那些悖论仍然存在，为集合论的可信度蒙上了阴影。即将高中毕业的冯·诺依曼很想在这方面有所助益，但他的父亲却是他首先要克服的障碍。马克斯担心神童儿子对数学的兴趣过于浓厚，于是就找到比扬奇大20岁且已经是著名航空航天工程师的冯·卡门，请他劝冯·诺依曼不要在大学里攻读数学。马克斯向冯·卡门解释说：“学数学赚不了钱。” 冯·卡门尽心尽责地来到了瓦齐大道，想要探究小冯·诺依曼的兴趣所在。“我和那个男孩儿谈了谈，”冯·卡门谈到这次邂逅时说，“他令人惊叹。年仅17岁，他就已经开始独自研究无限数的不同概念，这是抽象数学中最深奥的问题之一……我认为劝他背离自己的天性是可耻的。”

然而，马克斯固执己见，所以冯·卡门帮助两人达成了协议。扬奇将同时攻读一个学科的本科学位和另一个学科的博士学位。当时的化学工业正处于全盛时期，所以他得在柏林大学学好化学课程，以便在两年后申请去苏黎世联邦理工学院（ETH）攻读化学工程学。同时，他还要在布达佩斯大学注册登记为数学博士生。

不出所料，冯·诺依曼一路顺利地通过了路德教会学校的期末考试。除了体育、音乐和书法这三科，他的成绩很少低于“优秀”。他不是一个天使，他的行为表现通常仅仅被打为“良”，他在大多数课上一定是无聊得难以想象的。

从文科中学毕业之后，1921年9月，冯·诺依曼和父亲坐上了前往柏林的火车，他将按照与父亲的约定，开启其艰苦的学习计划。与他们在同一节车厢的一位乘客了解到冯·诺依曼的兴趣爱好后，想和这位年轻人友好地聊聊天：“你是来柏林学数学的吧。”“不，”冯·诺依曼回答，“数学我已经懂了。我是来学化学的。”

就这样，他开始了疯狂的四处漂泊的生活，这也成为他后半生的常态。在之后的5年里，冯·诺依曼忙碌地穿梭于三个城市之间。1923年9月，在柏林掌握基础化学之后，他参加了ETH的入学考试，并以非常出彩的成绩通过。在接下来的三年里，他坚持不懈地研究化学工程学，也创下了ETH建校以来玻璃器皿破损的最高纪录，且在一段时间内都无人打破。然而，他的心却在别处。无论是在柏林、苏黎世还是在布达佩斯，冯·诺依曼都在寻找可以交谈的数学家。在柏林，他成为埃哈德·施密特的门生，后者20年前师从希尔伯特。后来在苏黎世，冯·诺依曼转投赫尔曼·外尔门下，外尔被认为是希尔伯特以前最优秀的学生。外尔张开双臂欢迎冯·诺依曼，并在10年后与他在普林斯顿共事。

在年龄是自己两倍的数学家们的指导下，冯·诺依曼坚持不懈地反复钻研，终于在1922年至1923年的某个时刻，将其成果摆在了世界著名集合论专家亚伯拉罕·弗伦克尔的案头。19岁时，冯·诺依曼已经完成他的博士论文初稿。弗伦克尔后来回忆，自己曾经收到“一位名叫约翰内斯·冯·诺依曼的陌生作者的一份厚手稿，标题是‘Die Axiomatisierung der Mengenlehre’（德语，‘集合论的公理化’）……我并不认为该篇论文我全都看懂了，但足以看出这是一项非常杰出的研究，正所谓‘ex ungue leonem’（窥一斑而知全豹）”。 这一拉丁语短语，正是200年前约翰·伯努利在慧眼识出艾萨克·牛顿的一项未署名的辉煌之作时所说的。

弗伦克尔要求冯·诺依曼将自己的理论阐述得更容易为普通人所理解。修改后的手稿于1925年出版，原来标题中的定冠词“The”也改为了更谦逊的不定冠词“An”。 在接下来的三年里，冯·诺依曼扩展了这篇论文，并发表了篇幅更长的版本，而且又把“An”改回了“The”。 在这篇论文中，冯·诺依曼为集合论奠定了坚实的基础，并提供了一个解决罗素悖论的简单方法，这让希尔伯特十分高兴。

罗素致力于解决自己提出的悖论，推出了“类型论”，并在其所著的《数学原理》一书中对这一理论进行了最为明确的阐述。《数学原理》出版于1910年至1913年，洋洋洒洒共三大卷，力图描述可以推导出全部数学内容的那些公理和规则。在第379页之后，罗素和他的合著者阿弗烈·诺夫·怀特海证明了1+1=2（“上述命题偶尔有用”，有人如此讥讽他们的证明）。类型论试图通过将循环语句（circular statements）组织成集合（“类型”），并为这些集合制定严格的顺序来避免循环语句。至关重要的是，完全定义集合成员关系的语句优先于询问集合属性的语句。因此，询问所有非自身成员的集合的集合是否为自身的成员是多余的：此集合的成员性质首先就被定义，避免了这种矛盾。然而，罗素的类型论是相当呆板的，它严格限制了什么能说，什么不能说，因而也就有限制数学范围之虞。

相比之下，冯·诺依曼的方法就简单得近乎完美。他只用了一页纸就列出了他所有的公理。几十年后，数学家斯塔尼斯拉夫·乌拉姆写道：“这足以建立几乎全部的朴素集合论，进而涵盖全部的现代数学，并构成数学集合论最好的基础之一。”乌拉姆后来成为冯·诺依曼最亲密的朋友之一。他继续说道：“公理体系的简明性及其所采用的推理的形式化特征，似乎实现了希尔伯特把数学视为有限游戏的目标。由此可见，冯·诺依曼后来对计算机及对数学证明的‘机械化’的兴趣正是由此萌发的。”

冯·诺依曼论文通过对两种不同类型的集合进行区分破解了罗素悖论。他将这两种集合称为I. Dingen和II. Dingen，即“物集I”和“物集II”。数学家们现在倾向于将它们分别称为“集合”和“类”。冯·诺依曼将“类”严格地界定为一组具有相同属性的集合的集合。

在他的理论中，不再可能有意义地谈论“所有集合之集合”或“所有类之类”，有的只是“所有集合之类”。冯·诺依曼的提法巧妙地避免了罗素悖论的矛盾，亦不受类型论的所有限制。没有“非自身成员的集合之集合”，而有“非自身成员的集合之类”。关键在于，这个类不是它本身的成员，因为它本来就不是集合（它是类！）。

冯·诺依曼的论文证实了他并非昙花一现。到1925年该论文出版时，他在自己通常穿梭的几个目的地中新增了一个城市。他成了希尔伯特最中意的学生，这让格丁根大学的一些保守派人士很恼火。这对师生会去希尔伯特的花园里散步，或者待在希尔伯特的书房里，一同讨论着数学的基础和不断在他们周围如繁花般凌乱涌现的量子理论。次年，时年22岁的冯·诺依曼从ETH的化学工程学系毕业，并沉着自信地通过了博士招生考试。希尔伯特是考官之一，据说他只问了一个问题：“我一生中从没见过这么漂亮的晚礼服，请问，是谁为这位考生制作的？”

与此同时，希尔伯特的计划进展得无比顺利，令他备受鼓舞，于是他便提出要一劳永逸地确保数学无虞的确切要求。1928年，他激励其追随者证明数学是完备的、一致的和可解的。希尔伯特所说的“完备的”，是指所有真正的数学定理和语句都可以由一个有限的公理集合被证明。而“一致的”，则是他要求证明这些公理不会导致任何矛盾。希尔伯特的第三个要求是数学应该是可解的，即著名的“判定问题”：是否存在一种循序渐进的过程（一种算法），可用以证明某个特定的数学命题是否可以被证明？希尔伯特说，只有当他的三个要求都如其所愿被满足时，数学才会真正高枕无忧。

希尔伯特关于完美数学的梦想将很快破灭。在之后的10年间，数学界的一些聪明人响应了他的号召。他们将证明数学既不完备也不一致，还不可解。1943年，希尔伯特去世后不久，他那失败的计划却收到了意想不到的成果。希尔伯特推动数学家们非常系统地思考数学问题的本质，这些问题中有一些通过一步步的机械程序是可以解决的，而有一些则不能。通过冯·诺依曼的贡献，这种深奥的追求将有助于诞生一种真正具有革命性意义的机器：现代计算机。 Lg+m10U9cZczTVVIXm2xBrGQQmSRbQJWnpdcDw0wLdC7n3b4VKgBuMkJnT0qI1oK