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儒勒·凡尔纳笔下的大力士与欧拉定理

你还记得儒勒·凡尔纳的小说中出现的大力士马蒂夫吗?“他身高体壮,宽肩厚背,脑袋硕大无比,胸腔如冶铁的风炉,双腿像粗壮的树干,他的双手仿佛起重机,拳头犹如大铁锤。”在小说《桑道夫伯爵》里,记叙了许多关于这位大力士的奇闻逸事,营救“特拉巴科洛号”的故事就是其中之一:马蒂夫用他粗壮的手臂把正在滑下水的轮船紧紧拽在原地。故事是这样的:

“特拉巴科洛号”即将下水,船底只剩下6名工人在做最后的准备。他们周围聚了一堆游手好闲的看客,正好奇地东瞧西看。这时,一艘游艇从海岬驶了过来,它要进港,就必须经过“特拉巴科洛号”下水的水面,因此工人们立刻停止了下水的操作。否则两船相撞,就要酿成大祸。人们的目光齐齐地投向了这艘奢华的游艇,它的白帆在阳光下闪着金光,游艇疾驶而来,不一会儿就出现在船坞的正前方。人群中突然响起一声尖叫,只见“特拉巴科洛号”开始摇晃,马上就要落入水中。

突然从人群中跳出一个人来,一把抓住了系在“特拉巴科洛号”上的缆绳,他冒着被绞成肉泥的危险,在转眼之间将缆绳缠在了钉在地里的铁柱上,然后以超乎常人的力气紧拽着缆绳尾端不放,大概过了10秒,缆绳就绷断了。可是这10秒的时间已经足够避免一场灾难。游艇与“特拉巴科洛号”擦肩而过,几乎没有碰到。

这个救人于危难之际的大英雄不是别人,正是我们的老朋友马蒂夫。

假如有人告诉儒勒·凡尔纳,一个人即使不拥有马蒂夫的神力,也能做到他所做的事情,凡尔纳一定会大吃一惊。事实上,只要动动脑筋,就能处理这样的紧急状况。

力学原理告诉我们,缠绕在桩子上的缆绳在滑动时会产生巨大的摩擦力。而且,缠绕的圈数越多,摩擦力越大,如果缠绕的圈数用算数级数来表示,那么摩擦力的递增就要用几何级数来表示。这意味着,如果将缆绳在桩子上缠绕三四圈,即使是一个小孩,也能拖住巨大的重量。在码头上,很多小孩都是通过这样的方式使载有数百名乘客的轮船停靠在岸。他们之所以能这样做,并不是因为拥有超乎常人的力量,而是因为桩子和缆绳之间存在摩擦力。

18世纪的著名数学家欧拉曾为摩擦力与绳圈数的关系列出了公式。熟悉代数语言的读者们不妨一看,公式如下:

F=fe ka

公式中的 F 表示对作用力 f 的阻力, e 是自然对数的底,其数值约为2.718, k 表示缆绳与桩子的摩擦系数, a 表示缆绳缠绕的角度,也就是缆绳缠绕时的弧长与半径的比值。

将这个公式应用到儒勒·凡尔纳的故事中,我们就会得到一个惊人的结果。在这个故事中, F 是船从船台的滑道滑下时对缆绳的拉力。从小说中我们得知,这艘船重达50吨。假设滑道的倾斜度为1∶10,那么作用在绳子上的就不是船的全部重量,而仅仅是它的 ,也就是5吨,或者说5000千克。接下来,我们把缆绳与桩子之间的摩擦系数 k 取为 。然后,因为我们知道马蒂夫在铁桩上把缆绳绕了3圈,所以很容易就能计算出 a 的数值:

我们将数值代入公式中,可得:

未知数f(拉动缆绳所需的力量)可以用对数计算出来,因此可得:

log5000=log f +2πlog2.72

f =9.3千克力

因此,大力士若想要拉动缆绳,仅需要不到10千克力(1千克力约为10牛顿,后同)的力量。

读者们千万不要以为“10”只是一个理论上的数字,事实恰恰相反,这个数字偏于保守,实际需要的力比这要小得多。因为如果你是把麻绳缠绕在木桩上的话,摩擦系数 k 会更大。你所需要付出的力 f 会小得离谱。我们唯一的愿望是麻绳能够承受巨大的拉力而不至于断裂。因此,一个小孩将绳子在桩子上缠绕三四圈,也能比肩凡尔纳笔下的大力士。 yzeSFrr58sS7Gza/wsDgGLnbgCioLY7vYdfIiHHRO6gruXHNpmi4GuivBGYbRZiS

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