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是否真的可能有一个信任是不可能的？我并不是单纯地指一个错误的信任，而是一个逻辑上不可能的信任。哲学家罗素（Bertrand Russell）提出了著名的逻辑悖论——对那些试图表明数学只不过是逻辑的数学家具有深远的影响——所有遵循起始假设集合的推论的集合，称为“公理”。罗素向我们介绍了所有集合的集合的概念。例如，如果我们的集合是书的话，那么图书馆的目录就可以被认为是所有集合的集合。这份目录本身也可能是一本书，因此同时也是所有书的集合的成员，但它不必是——它可以是一张CD或是索引卡的集合。
罗素要求我们去仔细思考那些不是其中成员的所有集合的集合。这听起来很绕口，但无妨，直到你更加仔细地去验证它。假设你是这个集合的成员，那么根据定义，你不是它的成员。如果你不是它的成员，那么根据推断你就是！更具体地说，罗素假设有个理发师，他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，谁给这个理发师刮胡子
？这就是著名的罗素悖论。
这种类型的逻辑悖论可以扩展到这种情况，两个参与者彼此信任对方。假设他们一个叫爱丽丝，一个叫鲍勃。想象一下：
爱丽丝相信鲍勃假设：
爱丽丝相信鲍勃的假设是不正确的。
这是一个不可能的信任，因为如果爱丽丝相信鲍勃的假设是不正确的，那么她相信鲍勃的假设——即“爱丽丝相信鲍勃的假设是不正确的”是正确的。这意味着，爱丽丝不相信鲍勃的假设是不正确的，这违背了爱丽丝当初的设想。唯一的可能是爱丽丝不相信鲍勃的假设——“爱丽丝相信鲍勃的假设是不正确的”——是不正确的。这意味着，爱丽丝相信鲍勃的假设——“爱丽丝相信鲍勃的假设是不正确的”——是正确的。但这又产生了一个矛盾，因为这意味着爱丽丝并不相信鲍勃的假设是不正确的！
我们已经展示了一种信任，它在逻辑上是不可能被认同的。这个难题意义深远。它意味着如果我们使用的语言包含简单的逻辑，那么在这种语言中就总是存在着一些语句不可能始终保持一致。在上面我们看到的爱丽丝和鲍勃彼此相互信任的情况下，必定有某个以你的语言能表述的信任，以你而言，对别人（或是神，也许）不可能有这种信任 [1] 。语言的使用者能够思考或谈论这些不可能的信任，但不能拥有它们。
这个困境也在一些诉讼案中出现，这些案件中陪审员为结果评估概率会视其他信息而定。他们会发现得出一个结论，假定他们接受了概率的证词，那判定有罪就是逻辑上不可能的。通过引进关于基础条件概率的辅助材料作为补救办法，被英国法律系统拒绝了，尽管它们在美国被接受了。
[1] 布兰登布格尔（A.Brandenburger）和凯斯勒（H.J.Keisler），“关于信任的一个不可能定理”（An Impossibility Theorem on Beliefs），《博弈，世界的方法Ⅱ：可能的世界和相关概念》（ Games ， Ways ofWorlds Ⅱ: On Possible Worlds andRelated Notions ），亨德里克斯（V.F.Hendricks）和佩德森（S.A.Pedersen）编辑，《逻辑研究》（ Studia Logica ）特辑，84，211（2006）。——原注