1 数学的艺术

为什么数学和艺术如此频繁地被联系在一起？我们找不到关于艺术和流变学或艺术和昆虫学的书、展览，但是艺术和数学却常常是亲密的伙伴。有一个简单的原因，我们可以把这个原因归结到数学的本原定义。

历史学家、工程师和地理学家可以很容易地说他们的学科是什么，但数学家可能不会那么肯定。长期以来，对于数学是什么，一直有着两种不同的看法。有些人认为它是被发现的，而另一些人则认为它是被发明的。第一种观点认为，数学是一种永恒的真理，在某种现实意义上已经“存在”，并被数学家发现。这种观点有时被称为数学的柏拉图主义。第二种与此截然不同的观点认为数学就像国际象棋，是一个无限大的带有某些规则的游戏，是我们发明的，并且它的结果是我们追求的。通常，我们在看到自然的模式后设置规则，或是为了解决一些实际问题而设置规则。不管什么情况，数学都被认定仅仅是这些规则的后果：它没有意义，只有可能的应用。数学是人类的发明。

这些在发现和发明两者中选一的哲学并不是数学的独特性质。它们是可以追溯到早期希腊哲学思考的一对选择。我们可以想象，同样的二分法适用于音乐、艺术或物理定律。

关于数学，奇怪的是，几乎所有的数学家都像是柏拉图主义者，他们在智力可及的数学真理世界里探索和发现。然而，如果敦促其对数学的最终性质表态，他们中很少有人会捍卫数学的这种观点。

这种情况把那些质疑这两种观点间区别之明显性的人，比如我，给弄糊涂了。毕竟，如果一些数学是被发现的，为什么你不能用它来发明更多的数学？为什么我们称之为“数学”的一切要么必须全都是被发明的，要么必须全都是被发现的呢？

另一种对于数学的观点从某种意义上说比较弱，它的定义包括其他活动，如针织或音乐，但我认为这对非数学家更有用。它也阐明了为什么我们发现数学在理解物理世界时是如此有用。在这第三个观点中，数学是所有可能模式的集合。这个集合是无限的。有些模式存在于空间，并装饰我们的地板和墙壁；其他则是时间的序列、对称、逻辑模式，或是因果模式。有些对我们很有吸引力，但有些我们却不感兴趣。前者我们进一步研究，后者我们则不研究。

使许多人感到惊讶的是数学的效用，这种认为并不神秘。宇宙中必定存在某些模式，否则任何形式的有意识的生命都不能够存在。数学只是对这些模式的研究。这就是为什么在我们的研究中，自然界是无处不在的。但仍然有一个谜：为什么这么少的简单模式，揭示了这么多的宇宙结构和它所包含的一切？你也可能注意到，数学在简单的物理科学中是非常有效的，但涉及理解许多人类行为的复杂科学时却是令人惊讶的无效。

数学是所有可能模式的集合的观点，也显示了为什么艺术和数学如此经常地走到一起。艺术作品中总是有一种模式识别。在雕塑中会有空间的模式，在戏剧中也会有时间的模式。所有这些模式都可以用数学的语言来描述。然而，尽管有这种可能性，在走向新的模式和更深入的理解的意义上，无法保证数学描述将是有趣的或富有成果的。我们可以用数或字母来标注人的情绪，并且我们可以将它们列出，但这并不意味着它们将遵循数或语法的模式。其他微妙的模式，如音乐中所发现的，显然属于这种数学的结构观。这并不意味着音乐的目的或者意义是数学的，只是它的对称性和模式组成了数学所寻求探索的可能性的庞大集合中的一小部分。