12 过山车轨道的设计

你有没有乘坐过轨道为“泪滴形”的过山车？它带你进入一个环圈，到顶部再回下来。你可能会认为那条弯曲的路径是一个圆弧形轨迹，但事实绝不是那样。如果乘客到达顶部时有足够的速度来避免从车里掉下来（或至少避免仅仅靠安全带支撑着），那么当乘客重返底部时所感受到的最大重力会变得非常大。

如果环圈是一个半径为 r 的圆，有一辆满载的质量为 m 的过山车，让我们看看会发生什么。这辆车将会在离地面高度为 h （ h 比 r 大）的位置轻轻启动，然后大坡度地下冲到环圈的底部。如果我们忽略任何作用在这辆运动着的车上的摩擦力或空气阻力，则它到达环圈底部时的速度为。然后它会升到环圈的顶部。如果到达顶部的速度是 V _t ，那么它需要的能量以克服重力上升到垂直高度为2 r 的环圈顶部，并以速度 V _t 到达。由于运动的总能量不能被创造或被消灭，我们必须满足如下条件（车的质量 m 在各项中被抵消掉了）：

在圆形环圈的顶部，乘客受到向上的使他免于从车里掉落下来的净推力，是沿半径为 r 的圆周运动产生的向上推力减去乘客本人向下的重力。因此，如果乘客的质量为 M ，则

这个力必须是正值，以避免乘客掉落下来，因此 > gr 。

回顾方程式（*），这就告诉我们，我们必须保持 h >2.5 r 。所以如果你仅仅利用重力从起始点滑下来，你必须从高度至少大于环圈半径2.5倍的地方开始，才能使你有足够的速度到达环圈顶部而不从座位中跌落出来。但这里就有一个很大的问题，如果你从那么高的高度冲下来，那么当你到达环圈底部时，你的速度为 V _b = ，这个速度大于。因此当你从圆弧底部开始运动时，你会感受到一个向下的力，这个力等于你的重量加上圆周运动的离心力，即：

因此，在底部乘客感受到的向下净力会超过其体重的6倍（一个6 g 的加速度）。大多数乘客，除非他们是退役宇航员或穿着重力加速度防护服的优秀飞行员，否则都会因这个力失去意识，因为这时只有很少量的氧气能够供应到大脑。通常情况下，儿童乐园的儿童乘客要保持低于2 g 的加速度，而对于成人，加速度最高在4 g 。

在这种情况下，似乎环形轨道是不可能实现的，但如果我们更仔细地研究这两个条件——在顶部有足够的向上的力以避免掉落，但又要避免在底部感受致命的向下的力——有没有一个方法通过改变过山车轨道的形状来满足这两个约束条件呢？

当你以速度 V 通过一个半径为 r 的圆，你将感受到的离心加速度为 V ² / r 。圆的半径 r 越大，亦即圆的曲线越缓和，你感受到的加速度越小。在过山车轨道顶部时的加速度 V ² / r 通过克服你向下的重力 Mg ，使你免于跌落出来，因此我们希望它足够大，这就意味着在顶部 r 应该足够小。另一方面，当我们在底部时，离心力产生了额外5 g 的加速度，所以我们可以通过一个更缓和的圆，即更大的半径来减小这个加速度。这可以通过将过山车轨道变成一个高度大于宽度的泪滴状来实现，所以它看起来有点像两个不同的圆弧部分，较小半径的圆弧形成上半部分，而较大半径的圆弧形成下半部分。这种看起来最合适的曲线被称为“回旋螺线”，当你沿着它运动时，曲率随着移动距离成比例减小。

这种模型在1976年由德国工程师施滕格尔（Werner Stengel）在加利福尼亚六旗魔山主题公园的“革命”号曲线运动项目中首次引入过山车轨道的设计。