8 贝叶斯统计观察

机会和概率在我们生活中起着重要作用。从法院关于婴儿猝死综合征与DNA匹配的判决，到健康和安全风险，你都离不开它。现实中可能因为粗枝大叶或难以发现的细微差别而导致有争议的判决。“专家”证人在涉及生死的司法诉讼中的疏漏，导致重大误判的情况时有发生。国际体育界广泛存在博彩现象。错误的禁药检测结果可以断送运动员的职业生涯，夺走所有的锦标赛纪录和数百万美元的商业合同。因此，以无差错方式检测运动员是否服药是非常重要的。曾经有过因药检实验室的无能而终结运动员职业生涯的案例，1994年8月莫道尔事件，导致英国田径联合会声名狼藉。

棒球是一个有趣的案例。主要球员涉嫌通过有步骤地服用类固醇来实现他们破纪录的壮举。美国棒球还没有建立一个随机进行药物检测和取消比赛资格的机制，但是不记名的检测结果显示出类固醇的使用达到了令人担忧的水平。科学家告诉我们，检测结果95%准确。这是什么意思？

假设1200名运动员参加了药物检测。预计他们中的60人（即5%）是类固醇使用者，而其他1140是“干净”的。在这60个骗子中，我们假设95%，即57人被药检人员正确地检测了出来。但在1140个“干净”的选手中，有57人（这是1140人的5%）由检测人员错误地记录为服药了。

这是发人深省的统计数据。检测1200名运动员将会有114个阳性结果。当然，57人服用禁药，而另外57人没有服用。因此，如果有一名运动员被检测出阳性，只有50%的概率保证他或她已经服用了禁药。

我们在这里描述的是一个非常重要的条件概率推理，1763年由英国坦布里奇韦尔斯的牧师贝叶斯（Thomas Bayes）在一篇题为《使用概率分析方法解决问题》的文章中首先提出。贝叶斯揭示了运动员服用禁药检出概率和未被检出概率之间的关系。我们假设 E 事件为药物测试结果是阳性的， F 事件为一名运动员服用禁药，则：

P （ E ）=禁药检测结果为阳性的概率

P （ F ）=运动员是禁药服用者的概率

P （ E | F ）=服用禁药的运动员检测结果为阳性的概率

P （ F | E ）=如果检测结果是阳性的，他们曾服用禁药的概率

认识到 P （ E | F ）和 P （ F | E ）不同这一点非常重要。公诉律师在法庭上因试图哄骗陪审员认为它们是相同的而声名狼藉，这是一个被称为“检察官的谬论”的错误。

我们想知道的是 P （ F | E ）。在1200个运动员的例子中，我们知道， P （ F ）=0.05，所以运动员没有服用禁药的概率是 P （非 F ）=0.95，测试的准确率为95%，即 P （ E | F ）=0.95。我们看到1200人中有57个未服禁药的运动员被测出阳性（即4.75%），所以 P （ E |非 F ）=0.0475。牧师贝叶斯表明所有这些数据通过一个简单的公式相关联：

P （ F | E ）=[ P （ E | F ）× P （ F ）]/[ P （ E | F ）× P （ F ）+ P （ E |非 F ）× P （非 F ）]

在我们的例子中，表示为：

因此，贝叶斯公式表明， P （ F | E ）与 P （ E | F ）是完全不同的。在我们的这个例子中 P （ F | E ）小得不能接受，所以需要更好的检测方法来更准确地区分服药的和未服药的运动员。