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◆ 摘要 ：英国数学家哈代“人生中一段浪漫的插曲”，是让印度数学家拉马努金灵感涌现，揭开隐藏在一些数字或一连串数字中的秘密。
小学生也会分数的乘除，因此，假设每个人充分了解分数的基本算术运算并非毫无根据。然而，高等数学对于处理这个议题仍感困扰。以分数1/2，2/3，3/4，4/5… n /（ n +1）数列为例。现在从这些分数中随机选择几项，把它们相乘或相除，得到的结果还是分数，然后尽可能化简这个分数。现在的问题是，以这种方式得出的分数的最大分子是多少？
过去已经有几位数学家研究过这个问题以及与此类似的问题。2005年，法国两位数学家布勒泰谢（Régis de la Bretèche）和特南鲍姆（Gérald Tenenbaum）与他们的美国同行帕默伦斯（Carl Pomerance）合作，开展了另一项研究，这项研究发表在当年4月号的《拉马努金期刊》（ Ramanujan Journal ）上。
这本期刊以拉马努金命名，一名从记账员变成卓越数学家的印度人。1887年，拉马努金出生在距真奈（旧称马德拉斯）400千米小村庄的一个虔诚的婆罗门家庭里，在早期阶段就展现出了不寻常的数学技能。拉马努金没有接受过任何正式的高等教育，仅靠阅读就精通了从别人那借来的数学书籍，独自习得数学技巧。在印度他多年做着与他的潜质毫不相称的苦工。拉马努金经常疾病缠身，总是一贫如洗，但他投入所有空闲时间研究数学。最后，拉马努金鼓起勇气给英国重要的数学家们写信，并附上了一些研究成果，但他采用的方法太新颖，表达又模糊不清，多数收信人都是著名的数学家，但是他们直接把信给扔掉了，他们认为这位印度职员不是骗子就是怪人。这位寄信人只缺他们看重的教育背景，但有一位教授注意到了他，那就是剑桥的哈代，当时最著名的数学家。他一眼就看出拉马努金所提出的定理非常迷人，而且很快意识到这个来自印度的年轻无名小卒是名杰出的天才数学家，“一个全然具有卓越的独创性和力量之人”。
哈代立刻邀请拉马努金造访剑桥三一学院，但花了好几年时间，哈代才说服这个极为传统的印度人前往英国。身为婆罗门，出国对拉马努金来说是禁止的。最终，师从世界上最好的数学家并且比肩研究的期望占了上风，他在1914年订了船票前往剑桥。拉马努金与哈代之间发展出一种最富成效的合作关系，哈代小心翼翼地引导他的门徒趋向数学的严谨，同时不致扼杀他对数学的直觉。拉马努金待在英国的6年间，这两个个性迥异的人一直合作无间。哈代和拉马努金两人的信念、工作风格和文化都迥然不同，哈代是无神论者，依循严谨证明的传统信仰，而拉马努金则是虔诚的教徒，多半依靠直觉。但两人发展出了深厚的关系，对哈代而言，这是“我人生中一段浪漫的插曲”。这位剑桥大人物能够填补拉马努金的教育空白，但又留心不干扰这位印度年轻人的灵感涌现。拉马努金没有让他失望，在哈代的指导下，不过6年时间，他就取得了惊人的成果。他有一项能力享有盛名，就是能够揭开隐藏在一些数字或一连串数字中的秘密。拉马努金后来成为英国皇家学会史上最年轻的会员之一，也是第一个获选三一学院院士的印度人。
但这位印度人在剑桥始终感到孤寂，饱受压力和思乡之苦。没有素食可能也让他苦恼，因为他的宗教信仰只容许他吃素，但当时正值第一次世界大战，新鲜食物匮乏。1919年，他决定不再忍耐，拖着早已因病而孱弱不堪的身体返回了印度，回到一直守候着他的妻子的身边。不久他就过世了，年仅33岁，遗物数量庞大。时至今日，仍有研究者埋头钻研他的笔记，希望发现更多隐藏的宝藏。
《拉马努金期刊》创刊于1997年，一年发行4期，致力于开拓因这位极富才华的印度人而丰富多彩的数学领域。这本期刊无疑是那些探讨高等算术问题文章的最佳发表场所，例如本文开头提到的那类问题。3位作者在论文一开始就提到，在任何情况下，分子最大值必定小于1×2×3×…×（ n +1）。然而，这是一个非常大的上限，当 n =15时，得出的值已达20兆。我们所知的是，那个分子必定小于此上限。这项讯息没有太多效用，仅仅更强化了必须限定分子最大边界值的必要性。3位数学家证明当 n =20时，分子最大值介于1兆至10万兆之间，这是一个相当广的范围。就前一千个分数（ n =1000）的集合而言，分子的最大值介于大到无法想象的数10 600 与10 2000 之间。那些雄心勃勃急于开创事业的数论家努力尝试为这个区间建立更窄的边界。
本文结束之前，让我做个简短的评论，以消弭数学家是思维狭窄的科学家这种错误的假象：撰写上述论文的3位作者之一的特南鲍姆，不仅在法国南锡第一大学（Université Henri Poincaré）任教和开展研究，还以写作闻名。他出版过剧本《三则小品》（ Trois pieces faciles ），还有两部小说《在阴影边缘约会》（ Rendez vous au bord d'une ombre ）和《日程》（ L'ordre des jour ）。这3部文学作品应该可以改变人们认为跟数学家只能谈数字的刻板印象。