消失的笔记本

◆ 摘要 ：美国数学家在剑桥三一学院图书馆偶然发现一卷拉马努金的笔记手稿，发现这本笔记“在数学界造成的轰动，几乎与发现贝多芬《第十号交响曲》对音乐界造成的轰动一样大”。

印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）不是普通意义的天才，他仅仅自学数学一年，然后在剑桥的良师益友及研究伙伴哈代的关心和引领下，在不幸而短暂的一生中做出了开创性的成果。其中一些成果让几代数学家忙碌一生。

拉马努金32岁疑因结核病过世，去世前两个月，他写了最后一封信给哈代：“最近我发现了非常有趣的函数，我称之为‘拟’ θ 函数，”他写道，“与‘伪’ θ 函数不同……它们成为数学的一部分，如普通 θ 函数一样优美。随信附上一些范例……”。他为自己的发现取这个怪名字，是因为他认为新发现的函数与19世纪初雅可比（Carl Gustav Jacobi）提出的 θ 函数有一些相似之处。

在信中，拉马努金提出了17个神秘的幂级数，但他既没有给出定义，也没有说明建立这些级数的方法，没有线索显示为什么他认为这些级数意义重大，他甚至没有指出它们是否存在共性。很可能他向哈代透露了更多明确的信息，但我们将永远无从知晓，因为信件的前几页已经遗失。然而，由于拉马努金对深奥的数学关系具有异乎寻常的感受力，多数数学家相信，这些函数背后必定隐藏着某种重要的理论。

拉马努金逝世后，他的遗孀将丈夫的笔记本赠给印度马德拉斯大学。笔记本里密密麻麻地记载着他全部的3542项定理。马德拉斯大学随后将这些笔记本转赠给剑桥大学，自此之后，数学家们巨细靡遗地仔细查阅这些笔记，希望能发现更多珍贵的东西。1976年，一位数学家有了意外收获。美国数学家安德鲁斯（George Andrews）在剑桥三一学院图书馆偶然发现了拉马努金的笔记手稿，共138页，此前没有任何人翻看过，这些手稿记录了这位印度数学家生前最后一年的研究成果。这项发现很快以“拉马努金丢失的笔记本”而广为人知。根据一位专家的说法，发现这本笔记本“在数学界造成的轰动，几乎与发现贝多芬《第十号交响曲》对音乐界造成的轰动一样大”。检视这本笔记本时，数学家又发现了两种拟 θ 函数（1930年代，一位英国数学家独立发现另外3种此类函数）。

在接下来的数十年里，这些神秘的幂级数被应用于多个不同领域，如数论、概率、组合数学、数学物理、化学，甚至癌症研究等，但对这些级数的了解没有取得任何进展。数学家证明了拟 θ 函数运用的定理，却完全不了解这些神秘事物的真面貌。这些函数在纯数学领域内外都得到广泛应用，可见它们必定属于某个重要的理论，只是尚待发现。

第一次重大突破发生在2002年，荷兰数学家茨魏格斯（Sander Zwegers）证明拟 θ 函数是所谓实解析的模形式 。实解析的模形式在数论（如费马定理的证明）、代数拓扑、函数论或弦论中扮演重要角色，但根本的问题仍然未解：这些函数源自哪个重要的理论呢？

这时，威斯康星大学麦迪逊分校的布林克曼（Kathrin Bringmann）和小野（Ken Ono）登场了。在他们一系列的开创性论文中，两位数学家证明拟 θ 函数属于一种新理论，这种新理论将古典模形式与所谓的调和马斯形式 联系了起来，后者是现代的模形式通则。由此，拉马努金谜题终于解开了。此外，他的笔记还指出，拟 θ 函数不是只有既存的20多个，而是有无限多个。在这个理论的指引下，布林克曼和小野才得以证明数论中一些存在已久的猜想，拉马努金手稿的重要性由此可见一斑。 06iGD5Mz7yblIAiOquFOJDzKEOmqPSjC7BPYiUtW94r/f/D4E44D1IGVLebkeM/3