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邮票、硬币与麦乐鸡块

摘要 :用不同面值的邮票组合邮资、用确切数量的零钱购物、组合任意盒数购买麦乐鸡块……凡人的问题解决了,数学家的问题即将开始。

有一种感觉非常熟悉,至少对我们这些在电子邮件出现之前已经出生的人来说如此。写好一封信,塞进信封里,封口,然后才想起来,邮局已经关门了。幸好抽屉里有一些邮票,正好可以派上用场,于是问题迎刃而解。但凡人的问题解决了,数学家的问题出现了。他们自问,假定有各种不同面值的邮票,粘在一个给定大小的信封上,可以容纳的最高邮资是多少?举例来说,有面值为1、4、7、8分钱的邮票,在一个最多可以容纳3张邮票的信封上,那么信封上的邮资介于1分钱至24分钱之间。

这个所谓“邮票问题”可回溯至1937年,当时德国数论家罗尔巴赫(Hans Rohrbach)在一篇论文中首次描述了这个问题。此后关于这个问题的研究不断涌现,时至今日仍有从不同侧面阐明这个问题的文章发表。这一切都证明了,用最少量邮票组合出一特定邮资的问题并不容易解答。事实上,如同加拿大滑铁卢大学的沙利特(Jeffrey O.Shallit)所说的,这个问题极其错综复杂。沙利特证明,随着邮资的增加,计算机用以计算邮票最适配置所需的时间也大幅增加。

印度数学家特里帕蒂(Amitabha Tripathi)在《整数数列期刊》( Journal of Integer Sequences )上发表了一篇文章,研究邮票问题的一个特例。他假定邮票面值以一定值增加。举例来说,以7分钱为增值,有1、8、15、22分钱面值的邮票组合。特里帕蒂提出了一个可以计算最高金额的公式,不高于这个金额的所有邮资,都可以用一定数量的这些邮票组合出来。因此,如果最多能贴10张上述4种面值的邮票,那么所有不高于94分钱的邮票组合都能贴到信封上。

另一个对邮票数量没有任何限制的问题称为“硬币问题”。这个问题与德国数学家弗罗比尼斯(Ferdinand Fröbenius)有关,他以用一定数量的零钱购物这一情况说明这个问题,可用的特定面值的硬币量是一定的。与邮票问题相反,硬币问题让人感兴趣的是下限:在多大金额以上,任何购物都能以可用的硬币支付?英国数论家西尔维斯特(James Joseph Sylvester)在写给英国《教育时报》( Educational Times )编辑的信中,提供了这个问题的答案。如果只有两种硬币 A B ,除了1之外,两者没有公因子(因此它们“互质”),那么,所有高于 A × B - A - B 的金额都可以用这两种硬币支付。举例来说,如果有5分钱和2分钱的硬币,那么总额为4分钱或更高的金额都可以用它们支付。有5分钱和13分钱的硬币时,只有购买48分钱(7个5分钱硬币加一个13分钱硬币)或更高金额的商品时,才能用这两种硬币支付。低于48分钱的许多金额无解。有一个计算机程序可以找出3种不同面额硬币的支付金额下限,而4种或更多种硬币的情况仍然无解,只有估计值。

邮票与硬币问题还有另一种版本:“麦乐鸡块问题。”这个问题谈的是麦当劳的鸡块,以6块、9块、20块盒装售卖。所谓“麦乐鸡块数”是指任意组合盒数而买到(及吃掉)的鸡块数量。举例来说,要买44块鸡块,可以购买一盒20块装,加上两盒9块装,再加一盒6块装,但没有任何盒数组合可以组成如总数为13、22或37的鸡块。现在的问题是,最大的非“麦乐鸡块数”是多少,也就是无法通过组合盒数买到的最大鸡块数?答案是43。任何大于这个数字的鸡块数都可以买到。当麦当劳菜单推出4块装的快乐儿童餐后,最大的非“麦乐鸡块数”降到11。

与邮票问题、硬币问题及麦乐鸡块问题相关的问题,还有找零钱时最高效的硬币组合、一国货币的最适面值等问题。美国有5种不同的硬币:1分、5分、10分、25分以及很少用的5角。假设所有价格出现的概率相同,一般而言商店老板需要4.7个硬币用于找零。沙利特做过计算,如果铸造18美分币值的硬币替换10美分的硬币,找零钱时所需的硬币数会减少17%。欧洲的情况也一样,增加一种1.33欧元的硬币,可以将找零钱所需的硬币数从平均4.6个减少至3.9个。不过大家最好别去想像结账时柜台上发生的混乱。 KI2kyXOiuMiVnXbUztISFGPnwe7DUvZtlhV39HqjUEdMYd3vWFAYagmhHzUj8k9e

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