素数的秘密生命

◆ 摘要 ：“任意长度”不等于“无限长度”，被迫估算一些“讨厌的”表达式的大小后，数学界的莫扎特找出了素数等差数列的答案。

2004年，两位数学家在网络上发表了一篇论文，他们在文中证实了一项当时尚未得证的素数猜想：存在任意长度的等差数列，所有项皆为素数。等差数列是可表示为 a + bk 的数列，其中 a 和 b 为固定整数， k 为介于0与任一上限之间的整数值。若此数列的所有项皆为素数，我们称其为素数等差数列。数列5，11，17，23，29可写成5+6 k ， k 为0—4，就是素数等差数列一例。现已知最长的素数等差数列有22项，其中一项为11 410 337 850 553+4 609 098 694 200 k 。

早在1770年，法国的拉格朗日和英国的华林（Edward Waring）便研究过素数等差数列。他们感兴趣的问题有二：特定长度的素数等差数列是否有无限多个？是否存在任意长度的素数等差数列？1939年，荷兰数学家范德科普特（Jo hannes van der Corput）证明存在无限多个长度为3的素数等差数列。其他长度的情况仍然未知。尽管数学界有很多人猜测任意长度的素数等差数列确实存在，有效的证明却一直付之阙如。

接下来，27岁的剑桥数学系毕业生格林（Ben Green）和29岁的加州大学洛杉矶分校的同行陶哲轩（Terence Tao）登场了。陶哲轩以21岁之龄取得博士学位，被誉为数学界的莫扎特。他们肯定地回答了上述两个问题：对任意给定长度，都存在无限多个比该长度更长的素数等差数列。

格林和陶哲轩决定先处理由4个素数组成的等差数列问题。他们的做法是把素数嵌入“殆素数”集合中，殆素数是可表示为素数乘积的数。这让他们的工作容易得多，因为已经有合适的数学工具处理殆素数，但他们很快又被困住了。如陶哲轩所述，他们被迫估算一些“讨厌的”表达式的大小。在克服这个困难的过程中，陶哲轩和格林发现，他们的工作进程有些类似于所谓的遍历理论，这是受物理学启发的一种统计学理论。这一洞察促使他们改变了方向，开始用较简单的方法处理4个素数组成的等差数列。更重要的是，这个新方法让陶哲轩和格林将他们的证明扩展至任意长度的素数等差数列。

研究少有一帆风顺，在格林和陶哲轩获得突破性进展之前，他们发现自己又落入困境。他们面对的情况是，必须将任意长度的数列的余项缩为0，这项障碍似乎难以克服。一次和在加拿大工作的英国数学家格兰维尔（Andrew Gran ville）的偶遇，成为解救他们的契机。格兰维尔告诉他们，他发现戈德斯通（Dan iel Goldston）和耶尔迪里姆（Cem Yildirim）前一年提出的所谓孪生素数猜想的证明有一项错误，他俩掩盖了……一个余项，但一人之失是另一人之得。戈德斯通和耶尔迪里姆失败的方法恰恰成为格林和陶哲轩的工作基础，他们用此方法处理他们的余项，结果成功了。他们做出了正确的估算（戈德斯通可以稍感安慰，他最初对完成那项证明的看法果然是正确的：“无论结果如何，我相信从中可以发现一些有趣的数学。”）。

这里要提醒一点：“任意长度”一词绝对不可以与“无限长度”一词混淆。前者仅指对任一给定上限，存在比此上限更长的素数等差数列。从下面的说明可知无限长度素数等差数列不存在的原因：等差数列 a + bk （ a 和 b 为常数， k =0、1、2……）最后到项 k = a 时，将包含一合数，我们得到的项是 a + ba = a （1+ b ）。这个数可以被 a 和（1+ b ）整除。因此，它不是素数。

然而，陶哲轩和格林50页的专业论文并未提到即将会有一些多于22个项的素数等差数列被发现。他们的证明是非建构性的，只证明了任意长度数列的存在，而非如何找出它们。 epLgBdRXJY26BM7th5KCdJQRo4N6Gd47EcvonhXAgnu0IQMVn2maO9pvTcMhiDxL