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冰淇淋婚礼蛋糕真是一种艺术。表面必须光滑但又足以支撑上面的蛋糕层，细腻的糖冰花又必须与新娘的捧花颜色相匹配。我们将要讨论烘焙和冰制一个非常不同寻常的婚礼蛋糕。它有许多层，每一层都是一个单位高度实心圆柱体。当我们从第一层往上走，到第二层、第三层，直到第 n 层，尺寸越来越小。如果首层的半径为1，则第二层的半径为1/2，第三层的半径为1/3，直到第 n 层的半径为1/ n 。
一个半径为 r ，高度为1的圆柱体的体积为π r 2 ×1，因为它是面积为π r 2 的圆堆积到高度1。这个圆柱体的外侧表面积是一个周长为2π r 的圆周堆积到高度1，所以等于 2π r ×1。这些公式告诉我们，这个特殊蛋糕第 n 层的体积为π×（1/ n 2 ）×1=π/ n 2 ，并且它的外侧表面需要被冰化的面积为2π×（1/ n ）×1=2π /n 。这只是第 n 层的体积和表面积。要制成共 n 层的全部蛋糕，我们必须把每一层（1，2，3，…， n ）的体积和面积加起来。
图1
现在想象一个非常不同寻常的蛋糕：一个有无限层的蛋糕。它的总体积将是无限层体积的总和：
这个无限项之和的了不起之处就在于，它是一个有限数。逐项数的大小迅速减小致使这个级数收敛于π
2
/6，近似1.64。我们只需要有限的蛋糕材料就能制作出一个无限层数的婚礼蛋糕。
接下来，我们要给它上冰了。为此我们需要知道要制多少冰，因此我们应该计算总表面积（我们将忽略在每一层顶部由上一层放置而留下的宽度为
-
的环形面积——你很快就会知道为什么这么做不要紧）。需要上冰的总面积是无限层蛋糕的表面积的总和：
这个和是无限的。项为
的级数不能够收敛于一个有限结果。当总和中包括足够多的项时，我们总可以使结果无限大。这很容易看出来
，因为这个级数之和一定大于下面这个级数
其中下一个（…）中将包含8个
而再下一个（…）中将包含16个
因此每个括号里的项的总和为
。这显然是将有无限多个项，因此级数的总和等于1加上无限个
，仍是无限的。我们的总和大于它，因此也一定有个无限大的和：我们无限2层蛋糕的表面积也将是无限的。（这就是为什么我们不必关心加上那些每层顶部的圆环制冰面积了。）
这个结果非常令人震惊 [1] ，完全违反直觉：我们的无限层的蛋糕配方要求做一个有限体积的蛋糕，但它永远不会被上冰，因为它具有无限的表面积！
[1] 在实际中，我们不能做一个有任意多层数的大小递减的蛋糕。如果我们允许每层减小一个10 -10 米的原子大小，底层半径为1米，那么第10亿层将为一个原子的大小。