2.10 科尔莫戈罗夫与现代概率论

自从17世纪概率论诞生直至20世纪，各个科学领域的科学家们都尝试应用概率论，但是他们只取得了有限的成功。从数学上来看是因为概率论很不完善，没有一个统一的数学基础。缺乏这一基础的一个原因是，从研究机会游戏发展而来的简单思想，足以解决帕斯卡和费马之后好几个世纪里数学家思考的许多概率问题。另一个原因是19世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽然后来分析的基础严格化了，但测度论尚未发明。因此20世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性，甚至连大数学家庞加莱也无法把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。

1899年由法国学者贝特朗指出的令人困惑的“贝特朗悖论”，以及后来概率论在物理、生物等领域的应用都提出了对概率论的概念、原理做出严格解释的需要。1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所做报告中的第六个问题，就是呼吁把概率论公理化。很快这个问题就成为当时数学乃至整个自然科学界最重要的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。

1917年伯恩斯坦发表了题为《论概率论的公理化基础》的论文，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927年其《概率论》第一版问世，伯恩斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。定义随机事件、概率等概念后，伯恩斯坦引入了三个公理。基于这三个公理构造出了整个概率论大厦，但其理论体系并不令人满意。

1928年米泽斯在《概率，统计和真理》一书中建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次的概率，米泽斯理论是无法定义的。因此，没有先进数学技术的概率论公理都不尽如人意。

幸运的是20世纪早期，法国数学家博雷尔和勒贝格拓展了微积分，创造出了更加严密的测度论。测度论可以让我们测量点集覆盖的长度、面积或体积，比如［0,1］内所有无理数集的测度（这里可简单理解为“长度”）为1，而此区间内所有有理数集的测度为0。测度论的诞生给概率论的公理化带来了勃勃生机。如果上述问题换个说法，在［0,1］内随机取数，那么取到无理数的概率就是1，而取到有理数的概率就是0。所以从1920年开始，对概率论的研究发现随机事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度具有相同的性质，这就建立了构建概率论逻辑基础的正确道路。随着大数定理研究的深入，概率论与测度论的联系也愈来愈明显。强、弱大数定理中的收敛性对应测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛。因此测度论的思想愈来愈渗透到概率论理论体系中。1933年，苏联数学家科尔莫戈罗夫所著的《概率论基础》出版，书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理化体系。这一体系着眼于规定事件及事件概率的最基本性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们从客观实际中抽象出来，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基本特性，又避免了各自的局限性，在概率论的发展中占有重要地位。科尔莫戈罗夫的工作奠定了近代概率论的基础，对后来建立的随机过程论也提供了必要的基础。

科尔莫戈罗夫以五条公理为基础，构建出整个概率论理论体系。这样，概率论就从半物理性质的科学变成严格的数学分支，和所有其他数学分支一样建立在同样的逻辑基础之上。当然，概率论公理化体系的构造并没有解决所有原则问题。关于随机性本质这个基本问题仍未解决。随机性与确定性的界限在何处，是否存在？这个哲学性质的问题值得关注。科尔莫戈罗夫为此付出了许多努力，试图从复杂性、信息和其他概念等方面来解决这个问题。他提出研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的宏伟目标，其基本思想是：有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正边界，数学世界原则上是一个不可分割的整体。 ^[8] CjoFMQYo4KC1EYPt+peRw3VzK4ga0mbWBlo3zmbSjMHaDrJoo02nCKRiVC5UQjyQ