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尽管生活中已经充满了不确定性，但人们遇到的随机性似乎还不够多，我们还是喜欢玩与运气有关的游戏来过瘾。扑克牌、骰子还有会转的轮盘用来给比赛增添不确定性，让比赛变得更刺激，更好玩。但如果你很渴望赢得比赛，应该怎样应用技巧和逻辑来对付这些运气游戏中蕴含的随机性呢？
大数定律提供了部分答案。它告诉我们，从长远来看，赢得最多的人是每次玩游戏时赢的概率最大的人。所以，在玩与运气有关的游戏时，你的目标应该总是放在作出某种决定并采取某种策略以增加赢的概率上。这样做虽不能保证每次玩游戏都赢，但长远来看定能让你得到满意的回报。
对于非随机性的比赛，也常因概率的不同而一分高下。例如，波士顿凯尔特人队的篮球巨星伯德（Larry Bird）以出众的罚球技术而著称。即便这样，伯德的罚球也时中时不中。我在学生团体内部组建的低水平篮球队里打球时，罚球也时中时不中。那么，伯德和我有什么差别呢？概率不同！在伯德的整个职业生涯中，罚球命中的概率是88.6%，包括1989—1990年的NBA赛季，他曾创下连续71次罚球都中的惊人纪录。可是，我罚球命中的概率不会超过50%（实际上也许更低，我们就不细究了）。尽管伯德和我都在1980年代罚过球，而且罚中与否也都是随机的，但伯德罚中的概率比我的要大得多。
再看看保龄球吧。冠军队的保龄球选手大概每三次击打就有两次能获得全倒，而像我这样的平庸之辈每三次击打还不能获得一次全倒。保龄球比赛中没有什么过人、防守、一对一较量之类。所以，打保龄球就像篮球罚球，长远来看，赢家与输家之间的差别只是概率不同的问题。
桥牌是一种复杂的牌类游戏，它有许多不同的方面，包括要花多年才能掌握的叫牌规则。然而，打桥牌也要用到相当多的概率知识。好的桥牌选手知道各种不同打法成功的概率，并且总是挑最有希望的那种打法，以增加赢的概率。
打桥牌时，由叫牌决定哪位选手成为“庄家”。庄家能看到自己的13张牌（那当然），还能看到搭档的13张牌。然而，另外26张牌就看不到了，它们随机地分发给了另两位对手。庄家在决定什么时候打什么牌时，她并不知道哪位对手有哪些牌。
有一种典型的情况可能需要庄家猜测哪位对手有黑桃K（桥牌中K的地位仅次于A）。如果猜对了，她就能用一种叫飞牌的桥牌技巧（诱惑那位对手打出K，然后用自己的A去压它）赢得额外的一墩，进而定约成功。但是如果猜错了，她就会输掉这一墩，定约也就失败了。她该怎么做呢？
新手可能只会瞎猜，猜对的可能性是50%。但细心的高手会去找线索来推断那张K到底在哪里。如果有位对手前面叫过牌，就表明他有许多大牌，那张K也更有可能在他那里。另一方面，如果一位对手看来有很多红桃，就意味着他的黑桃比较少，拿到黑桃K的可能性就比较小。聪明的选手通过细心地寻找线索，能把成功的可能性从50%提高到60%或70%，甚至更高。这样的提高对于桥牌的每一局来说只有很小的影响，但从长远来看，却能把强手从众人中分别出来。
尽管好的桥牌选手能提高成功的概率，但仍有许多随机性需要克服。将52张一副的扑克牌（去掉大小王）分发给4个人，每人13张，分配方式的总数大得惊人——比1后面跟28个零这样的一个数还要大。这当中有的分发结果对选手有利，有的对选手不利。根据大数定律，长远来看，优秀的选手会赢得更多。即使水平再高，要抵消掉因牌的分配而产生的随机性仍得经过很长时间的训练。
为了解决这一问题，严肃的玩家会选择打 复式桥牌 ——桥牌的另一种打法，每队有4人参赛。比赛中，牌经过（比赛的组织者）仔细分配，坐在同一位置（北、南、西或东）打牌的所有选手拿到的都是同样一手牌。所以，如果在这一局中，你坐在北边，拿到的牌是黑桃A和Q，方块10等，那么在另一局中，我坐在北边，拿到的也是这样一手牌，来对抗其他队的选手。比赛结束后，我们就能看出同样一手牌，谁打得更加高明。像这样去除了很多随机性之后，选手们的技术也就能更容易发挥出来。严肃的桥牌玩家喜欢打这种桥牌，这样能更准确地衡量自己的打牌水平，从而不寄希望于得到一手好牌的运气。但新手常常觉得打复式桥牌压力更大，因为当他们输掉比赛时就不能怪牌不好了。
那么，复式桥牌能完全避开运气的成分吗？不能。即使不同的选手拿到同样的牌，但由于看不到对手的牌，某些打牌的策略仍会碰巧比另一些更有效。当然，复式桥牌还是大大消除了随机性。但无论一般打法的桥牌还是复式桥牌，大数定律都保证了，长远来看最好的选手总会赢得最多。只是对复式桥牌，大数定律起的作用会快得多，好的选手也会更快地脱颖而出。
我曾对一位很严肃的桥牌玩家说，虽然打复式桥牌主要是靠技术，但运气的成分仍不可避免。他立即跳起来反驳道：“打复式桥牌完全不靠运气。”
“哦，是吗？”我不甘示弱。“假设某次飞牌成功的概率只有35%，你没有试，但另一位牌技较差的选手贸然试了一下，却成功了。”
这位严肃的玩家嘲笑说：“如果飞牌成功的概率只有35%，某人一试却灵，那说明不了什么，那完全没有意义。他只是凭运气！”
我笑了，没有说话，而这位严肃的玩家也渐渐意识到他刚好证明了我的观点。
没有哪种与运气有关的游戏能像扑克那样征服大众的想象，从《虎豹小霸王》到《赌侠马华力》，用扑克牌来一决胜负已成为诸多西部片中的典型场景。心理上的尔虞我诈，硬汉般的故作姿态，冷酷的一言一语，偶尔还有六响左轮手枪来助阵，所有这些合在一起造就了扑克牌的娱乐价值。这样的描述突出了扑克牌游戏中的竞争、心理以及经济层面的特征——这些当然都很重要。不幸的是，最重要的一面却被遗漏了，那就是概率。
在许多电影中，最后一局牌是被这么一位狠角赢得，他的牌是同花大顺：同一花色的10，J，Q，K和A。这种结果真的合理吗？实际上，发5张牌，不同的结果共有约260万种，其中只有4次同花大顺（每样花色一次）的机会。所以，最后一局牌发到同花大顺的概率大约只有二百六十万分之四，即六十五万分之一。这是极其少见的。而且，撇开娱乐大众不谈，任凭多么毒舌或恐吓（除非公然作弊），也无法改变这一概率。而且，从最强悍的牛仔到最狡猾的老手，再到最幼稚的新人，得到5张牌恰好是同花大顺的概率对谁都一样。
当然，扑克牌也有许多不同的玩法，有些配有百搭牌或可以任选额外的牌，有些还允许相互换牌等。这些变化自然也让所有的概率不一样。比如，若百搭牌足够多，甚至连同花大顺的出现也不再是那么不可企及。尽管如此，概率对每个人来说还是一样的。并且，玩牌的成功之路不在于每一局牌都能变魔术般地发到同花大顺，而是在于发牌后，认清有关的概率，并作出适当的决定。
假设你在玩5张牌的梭哈游戏（也称“沙蟹”），每位选手发5张牌（没有额外的牌或百搭牌）。假如你已发到4张黑桃，还有1张牌没发。如果第5张牌也是黑桃，那你这手牌就是同花（5张牌都是同一花色），这可是一手非常好的牌，也许能让你赢得彩池中的所有赌注。另一方面，如果第5张牌不是黑桃，那这手牌就非常弱了（充其量也不过是有一双对子），你可能就要输了。所以，一切都归结为第5张牌是不是黑桃。
那么，成功拿到黑桃的概率有多大？如果牌洗得很好且无人作弊，那么随后发牌时，你尚未看到的每一张牌发给你的可能性是相同的。你已看到了4张牌，还有48张牌没看到，其中有9张是黑桃。这意味着下一次发给你的牌是黑桃的概率为9/48，即约为19%。这一数字相当低，所以这时你也许应该选择弃牌（当然是否要这样做还得看彩池的赔率，后面再谈）。
要说的都说完了吗？不。在许多扑克牌游戏中，有些牌是正面朝上发的，这样每个人都能看到。例如，就通常的那种5张牌梭哈来说，每位选手发到的牌，除第1张以外，其他选手也都能看到。现在我们再来考虑一下上面提到的同花的情况。你已发到4张黑桃，正等着发第5张牌。假设你是与另外9位对手围桌而坐，他们每人手上都有3张牌是正面朝上的。这样，你看到的牌又多了27张，没看到的牌只剩下21张。如果对手们正面朝上的牌中没有1张是黑桃，那么在你没看到的牌中仍有9张是黑桃。所以，这时要发给你的第5张牌会是黑桃的概率就增加到了9/21，即43%——比前面的19%要大得多。同样，如果那27张牌中有7张黑桃，那你没看到的牌中只有2张是黑桃，那么概率就要减少到2/21，即9.5%——这就更糟糕了。
再举一个例子。假设你已拿到的4张牌是5，6，8，9。如果下一张牌是7，那这手牌就是顺子（5张牌正好相连），这是一手好牌，可能会赢。那么，第5张牌是7的概率有多大呢？整副牌中只有4张7。所以，要是别的牌你全没看到，这一概率就是4/48，即约8%——非常低。即使你能看到别的27张牌且都不是7，这一概率也只有4/21，即19%。因此，你“发到内听顺子”的梦想实现的概率并不大。
另一方面，如果你已发到的牌是5，6，7，8，那么再来一张4或9都能连成顺子。这时，成功的概率就是先前的两倍。这叫“发到边张顺子”；许多玩牌的好手都知道，这一梦想实现的概率是“发到内听顺子”的两倍。
所以，尽管影片中打牌的人忙着怒吼、放狠话、嚼烟草，真正的扑克牌玩家做的却是仔细地检查他们看到的每一张牌，包括对手打出的“不重要的”底牌。他们用所得到的信息进行计算，修正自己成功的概率，以便作出更好的选择。没错，心理因素——如虚张声势、故意泄露以及不动声色等——也很重要，但对于正经玩扑克牌来说，概率才是关键所在；谁忽视它，谁就要自担风险。
你在玩5张牌的梭哈游戏，发给你的头4张牌中有3张是Q。与此同时，对手的4张牌中正面朝上的为2张5和1张4，另有1张正面朝下，无法看到。他下了很大的赌注，所以你盘算他的那张正面朝下的牌也可能是5。即便如此，3张Q要大过3张5，所以你还不怎么担心。唯一的问题是，如果他的第5张牌又是1张5或1张4，那他的这手牌就增强了，可以击败你。
对手啪地甩出1000美元，向你挑战敢不敢跟进。怎么办？你有可能击败他，但如果他那最后1张牌恰好又是5或4呢？
你开始利用概率了。就算对手那张正面朝下的牌是5（实际可能不是），仍有44张牌（52-8）没有看到。这其中只有4张牌——最后那张5与另外3张4——可以增强对手的牌力，而真的出现这一结果的概率立即就能算出，只有4/44，即9.1%。这没什么可怕的。
此外，你注意到，你那“不重要的”第4张牌（除了那3张Q以外）恰好也是4！这样，于对手有利的、未见到的牌就从4张减少到了3张。对手击败你的概率现在变成了只有3/44，即6.8%。（此外，即使他真的又发到了1张5或1张4，你那最后1张牌也有小小的概率会是Q或4，你的牌力同样也会增强，你还是能击败他。）这么看来，你能稳操胜券呀。
对手正朝你怒视呢，他想威胁你弃牌，但你欣然地报之以一笑，跟进他下的1000美元赌注（甚至也许会加注）。他那最后1张牌结果是8，于是你就一路笑着去了银行。
一旦弄清了扑克牌中的概率，该怎么相机行事？是弃牌、跟进还是加注？这一问题非常微妙，都能写出（并且已经写出）整本的书来分析最好的决策是什么。不过，有一条基本的准则，即 彩池赔率。
具体的做法是这样的。假设你已算出，比如在前面第1个同花的例子中，赢的概率是19%。（这里假定如果你那一手牌真的是同花，你肯定赢。实际当然未必，现在姑且这么假定吧。）此外假设赌注是10美元，彩池中已有300美元。（当然，这300美元中有些原本就是你的钱，但那说明不了什么；此刻它是属于彩池，而不是你。）问题是，你该跟进这10美元的赌注还是弃牌？
如果弃牌，你就不必再拿出10美元的赌注，但你也别再想染指彩池中的300美元。一切到此结束。如果跟进，那你得立即拿出10美元的赌注，但只有19%的概率赢得彩池中的全部300美元，外加所下的10美元赌注。由于310美元的19%是58.90美元，这意味着 平均算来 ，你若跟进，就能赢回58.90美元。58.90美元比10美元要多得多，所以跟进继续玩下去，对你有利。当然，有81%的概率会又输掉那10美元赌注，但有19%的概率能赢得彩池中的一大笔钱。总的说来，冒险跟进还是值得的。从长远来看，玩扑克牌时遇到此种情况，选择跟进比选择弃牌让你获利更多。
作一比较，假设彩池中只有30美元，那么 平均算来 能赢回40美元的19%，即7.60美元。这比你若跟进得再拿出的10美元要少。所以这种情况下，应该弃牌。这样看来，问题完全在于彩池的赔率。
如果密切注意概率及彩池的赔率，选择就会更明智；长远来看，扑克牌也会玩得更好。另一方面，在某些扑克牌游戏中——从电影中的最后对决到世界扑克巡回赛，选手们会在一局牌中投下巨额赌注。他们常常会在单单某一局牌中选择“全押”，即押上全部财产——也许有一百万美元或更多。有些人对如此巨额的赌注印象深刻，他们认为那些赌客表现出了非凡的勇气、力量和信心；但我不会。我觉得，动不动就把自己所有的钱都押上的人是想避开时间的考验，想避开让大数定律来衡量他们玩牌的真正技术水平。
时下很流行一种德州拿住扑克（Texas Hold'em），即德州扑克。每位选手先发两张牌，正面朝下。随后陆续发出另外5张牌，正面朝上，摆在桌子当中，为公共牌。这5张公共牌的发牌顺序为，先发出3张（称为翻牌），然后发出1张（称为转牌），最后再发出1张（称为河牌）。每次发牌后，需立即下注。一旦赌注下好，尚未弃牌的选手可以从他们能看到的7张牌（自己的2张正面朝下的底牌，加上另外5张正面朝上的公共牌）里任选5张牌。有时候，所有选手都看中了那5张正面朝上的牌，那大家就平分彩池中的赌注，但大多数时候，获胜的选手是从公共牌中精心选出3张，与自己的2张牌拼在一起。
这种德州扑克很吸引人，因为除了公共牌以外，别人的牌都是正面朝下，是看不到的。很难知道对手要做什么，他们是否有一手好牌。如此一来，就激起了大量的欺骗、猜测以及心理对抗等——事实上，玩这种牌时，很多严肃的选手会戴上太阳眼镜，免得被人“读出”什么信息或泄露什么秘密。但就算这种德州扑克，从长远来看，成功的关键还是在概率上。
一旦头2张牌已经发出，好的选手就开始评估自己的机会了。大牌（特别是A和K）比小牌好，同一花色牌（也许能组合成同花）比不同花色牌要好，对子比配不成对的单张牌要好。当然，要说很有把握还为时尚早，不过，概率的苗头已经可以看出来了。
通过电视看世界扑克巡回赛的观众会注意到，比赛一开始，每位选手才刚刚发好2张底牌，屏幕上有时就会立即列出各人赢的概率。换句话说，电视台一看到每位选手的头2张牌，就能明确算出各人最后赢得这一局牌的概率（假定没人弃牌）。
这些概率怎么算出来的呢？倒也不难。这要在计算机上运行一个程序，考虑尚未发出的那5张正面朝上的公共牌的每一种可能情况，并计算出每位选手相应的胜率。这似乎是一项无法完成的任务，但其实不然。从一副52张的扑克牌中（没有王牌）挑选5张牌，可能得到的结果总共有260万种；这听上去很多，但一台运行较快的计算机能非常迅速地将所有的结果浏览一遍。此外，两位选手一旦各发了2张牌，整副牌就只剩下48张，从中挑选5张，可能得到的结果就降至170万种。所以，在以分钟甚至以秒计的时间之内，表格就能列出来，显示出当已知每位选手发到的2张牌后各人最终赢得这一局牌的概率。电视屏幕上列出的概率正出自这样的表格。
即便没有计算机、表格及电视，你对自己赢的概率也可有所知晓。例如，假设你已发到的2张牌是较小的红桃。由于牌小，你很有可能会被较大的牌或较大的对子击败。不过，如果那5张公共牌里有3张或更多张红桃，你就可以拼成同花，就有了赢的可能。能拼成同花的概率有多大呢？
你只能看到自己的2张牌，整副牌中还有50张你看不到，其中有11张红桃，有39张非红桃。从50张牌中挑选5张，结果总共有2118760种，每种结果出现的概率都一样。以5张牌中有几张红桃来分类，相应的数据如表4.1所示。
要拼成红桃同花，还需要3张红桃。所以，把表4.1中列出的5张牌中有3张、4张或5张红桃的概率加在一起，得到的就是最终成功的概率，即6.4%。事实上，这个概率很小，如果对手下了很高的赌注，你就没有必要再玩下去。
表4.1 已发到2张红桃且还会出现红桃的张数及相应的概率
另一方面，假设你看到了头3张正面朝上的公共牌，而且令人高兴的是其中有2张红桃，这时你想跟进。那么，事情就更有希望了——只要最后2张正面朝上的公共牌中有1张红桃就行。最终成功的概率有多大？眼下你看到了总共5张牌（两张在你手上，3张是翻牌），当中有4张红桃。你还有47张牌没看到，当中有9张红桃。从47张牌中选2张，结果总共有1081种。这里面，有36种可能性选出的2张牌全是红桃，有342种可能性有1张红桃。所以，能让你拼成红桃同花的结果有378种，因此成功的概率就是378/1081，即35%。真不错！也就是说，如果你已有4张红桃，还有2张牌没发，那么能拼成红桃同花的概率是35%。要是彩池赔率还可以的话，你应该跟进。
对于这个例子，若再假设转牌（第4张正面朝上的牌）不是红桃，那要拼成红桃同花就只剩一条路了。在46张你没见到的牌中，有9张红桃。所以现在成功的概率只有9/46，即19.6%，有些低了。弃牌与否，还要看赌注下得怎样，还有几位对手以及你认为对手的牌会有多好。
当然，要在牌桌边算出这些概率是困难的。不过，你可以应用各种实践经验作粗略估算。还是假设你已有4张红桃，正盼着最后2张正面朝上的牌（转牌与河牌）中至少有1张红桃。你知道没看见的牌还有47张，其中9张是红桃。所以下一张发出的牌是红桃的概率为9/47。又由于等着发出的牌共有2张，所以它们中至少有1张是红桃的概率就约有2 倍大了，也就是18/47。（实际上，18/47等于38.3%，离35%即概率的精确值确实很近。误差来源于2张牌 都是 红桃的结果计数了两次，这种结果出现的概率正好是36/1081，即3.3%。）18/47少于一半，但比1/3要大，所以，你又得到一张红桃的概率还是比较大的，但比五五开要小。对概率作出了这样的估计之后，再看看彩池赔率，并适当地采用一些心理战术，你就能更有信心地决定下一步该怎么做了（弃牌、跟进或加注）。
简单地算算概率的大小再加上一些实践经验，能让选手对自己的成功机会有所了解。要是再结合考虑一下彩池的赔率，那玩牌时作出决定的能力就能得到明显的改善。概率论虽不能完全取代玩扑克时的虚张声势以及心理战术，但它肯定是有帮助的。
赌场中流行的另一种扑克牌游戏是21点。玩家不断作出决定，是要庄家再发给他一张牌（称为“拿牌”）还是不要（称为“停牌”）。玩家若停牌，庄家就给自己发一张牌。最后，玩家和庄家比较各自手中牌的总和（有头像的牌算10，A算1或11看情况而定）。在总和都没有超出21时，谁离21更近，谁就赢。比如，如果你的牌是K，6，3，A各一张，总和就是20；如果庄家的牌是Q，5，4各一张，他的总和就是19。这一局你赢了。
21点的规则随赌场的不同而略有变化，但通常都包含以下几条：
·庄家发出的头一张牌是明牌，即便之前你还未决定是拿牌还是停牌。
·如果你和庄家各自手上的牌的总和都没有超出21，谁的总和更大，谁赢。
·如果你和庄家牌的总和相等，这一轮就算平，你下的赌注退还给你。
·如果你发到的头两张牌的总和恰好是21（比如1张A和1张Q），那就以你下的赌注的1.5倍赔给你，而不管庄家手上的牌如何。
·如果愿意，玩家还可作出有利于自己的各种选择。比如，分牌（若头两张牌一样，可以把它们分开，玩两手不同的牌），双倍下注（拿到头两张牌以后，可以把赌注加倍，然后只能再拿1张牌），保险（如果庄家发出的第1张明牌是A，你可以再加注，赌下一张牌是10或有头像的牌），放弃（立即停牌，只损失所下赌注的一半）。
·庄家别无选择，只能一张张牌发下去，直到自己手上的牌的总和等于17或更大，这时他就必须停牌了。（在有些赌场里，如果庄家自己手上的牌的总和是“软17”
，如牌为A-6或A-4-2，他要再给自己发1张牌。）
乍一看，这些规则似乎非常公正。谁的牌的总和更大（没有超出21），谁就赢，对于平局的处理也无可挑剔。此外，玩家还享有某些特殊的权益，比如总和为21时会得到额外的赔付，玩牌时可作各种别的选择；而庄家则必须按预定好的程序别无选择。总的说来，规则似乎是对玩家而不是庄家有利。然而，各地的赌场却能从21点上赚到丰厚的利润。这是怎么回事呢？
事实上，奥妙在于如果玩家的牌总和超出了21就算他输，而不管庄家的牌如何。换句话说，如果双方各自的牌总和都超出了21（或若游戏再玩下去将要超出21），就算庄家赢。这是唯一对赌场有利的规则，但有它就够了，足以让钱财滚滚而来。
虽然21点给玩家提供了很多选择，但核心是何时停牌何时拿牌。显然，如果你的牌总和是11或更少，你得拿牌。如果总和是20或21，你得停牌，但如果你的牌总和是15，又该怎么办呢？在这种情况下，如果拿牌，可能会发到一张5或6，那么牌更好了，但你也可能会发到7至K之间的某一张牌，结果就爆牌了。现在该怎么做呢？
基本原则同其他牌相同：所有没有看到的牌随后都会以相同的概率出现。不过，有一点不同。赌场中玩21点时，一般会把很多副牌——6副或更多副，混在一起洗，并且常常是洗了又洗。因此，前面发出了哪几张牌，对于接下来会发出怎样的一张牌，几乎不会有什么影响。另外，大多数赌场都明令禁止玩家清点到目前为止已现身的牌；如果有谁被发现这样做，赌场就会对他下逐客令。（借助一些记忆窍门，玩家也许能对剩下的牌中大张与小张的比例有所知晓，一些有经验的玩家也确实由此取得过成功，但如果用更多副牌并且洗的次数也越来越多，那么这种做法的效果肯定会越来越差。）所以我们假定玩21点时，从A到K的每一张牌都会以相同的概率在随后出现，而不管前面已经发出了什么牌。
假设你在赌场中玩21点（用了很多副牌），并且已经发到一张J和一张8（和为18）。下一张发给你的牌可能是A到K的13张牌中的任何一张，它们里面有10张（4及以上的牌）会让你爆牌。所以，你超出21的概率是10/13，即77%。这也太大了，此刻你最好停牌。
如果在和为18时停牌，下面会出现什么情况呢？这时庄家就必须拿牌，直到他的和为17或更大，而不管你的牌如何。长远来看，庄家手上的牌之和的各种概率（用了很多副牌），如表4.2所示。
表4.2 21点庄家牌最后的和及赢牌概率
由表4.2可知，当玩家牌的和为18时，如果庄家牌的和为17或超出21，那玩家赢得这一局的概率约是43%。如果庄家的和也是18，那双方平的概率约是15%。如果庄家的和是19，20或21，那玩家输牌的概率约是42%。所以，和为18时停牌，这一局牌双方基本上不分胜负。实际上，玩家还略微占先呢。这当然比起拿牌使得结果有77%的概率会立即超过21点要好。
除了作上述考虑外，还有一张牌你应特别加以注意。那就是庄家发给自己的第一张牌（明牌），这张牌对庄家最后可能得到的和有很大的影响。根据这第一张牌，长远来看庄家手上的牌的和及其相应的概率（在很多副牌的情况下）如表4.3所示。
表4.3 21点庄家手上的第一张牌及最后可能的和及其概率
表4.3表明，庄家的和是某个数的概率与他的第一张牌有很大的关系。第一张牌是A，那就很灵活（因为它可算成1也可算成11），最终爆牌的概率也因此能降到10%以下，而且和为21的概率很大（只要下一张牌是10或有头像的牌就行）。然而，第一张牌若是6，庄家最终爆牌的概率就非常大，达到42.5%（如果下一张牌是10或有头像的牌，和就是16，再往后就可能会爆牌了）。相比之下，第一张牌是7，和为17的概率很大；第1张牌是9，和为19的概率很大，以此类推，因为下一张牌很可能是10或有头像的牌。
知道这些又有什么用呢？假设你已拿到1张J和1张3（和为13），庄家的第一张牌是5。你该拿牌还是停牌？如果拿牌且拿到的牌又是9，10，J，Q或K之一，那你就会爆牌，就输了——这一概率是5/13，即38.5%。当然，你的和也可能不会超出21，但不一定就能赢得这一局。总的来说，如果你再拿牌，赢的概率与所拿的下一张牌有关，如表4.4所示。
表4.4 玩家牌为J，3，庄家牌为5时，玩家再拿牌一次的情况下结果总览
把表4.4的第4列、第5列中的各种概率（它们与发给你的下一张牌有关）分别平均一下，即可算出：如果你再拿牌一次，赢的概率是33.96%，打平的概率是4.67%。
别忘了，庄家自己的第一张牌是5，这并不是一张好牌。从表4.3可以看出，庄家最后爆牌的概率是39.33%。所以，如果你停牌，虽然和只有微不足道的13，但赢的机会仍不算低（39.33%）。
停牌，赢的概率为39.33%；再拿牌一次，赢的概率为33.96%（即使加上打平，也只有38.63%）。因此，如果你发到的牌是1张J和1张3，庄家自己的第一张牌是5，总的来看，你应选择停牌，这比选择拿牌要好。
认真的21点玩家们会详细地作过此类计算，包括应用计算机模拟以求出各种不同的概率。他们已经提出了一种“基本策略”，目的是在各种不同情况下使赢的概率达到最大。这一策略有详尽的规则，说明何时该分牌，何时该双倍下注，何时该拿牌，何时该停牌。（应用这一基本策略去玩21点，可以把赌场一方的占先优势降低到0.5%刚过，但即便如此，从长远来看玩家仍要输钱。）这一基本策略中有一条规则是说，如果玩家当前的和在13与16之间且没有A算作11，并且庄家的第一张牌在2与6之间，那玩家应该停牌。这与我们所举的牌为J和3的那个例子一样：如果你选择拿牌，和可能会更好，但也可能会超出21。总的来看，在这种情况下最好是停牌，寄希望于庄家爆牌。
在玩与运气有关的游戏时，对随机性的理解能增加赢的概率。不过，真要成为赢家，最终需要的是耐心。
大数定律说了，长远来看，赢的概率最大的人会赢得最多。这并不是说每次玩你都会赢，而是说如果这一游戏你玩了又玩，就会比别人赢得更多。一旦搞清了怎样增加赢的概率，你也许就要玩许多许多次，以便最终走上赢的道路。（类似的情况也适用于股票市场：成功并不在于你所有的股票都得一直往上涨，而是在于平均来看它们是往上涨。）
不幸的是，有时成功不能复制。这种情况下，你能做的就是让赢的概率尽量地大，并且把握住机会。
去年，我指导的一位研究人员要回到他的祖国葡萄牙去。临行前，他办了一个令人愉快的告别晚会，以美味的葡萄牙风味食品招待大家。
作为活动的一部分，他和他的同伴设计了一个简单的竞猜游戏：猜他们在葡萄牙新住址的邮政编码。我们被告知，这个邮政编码是介于1000与9999之间的一个数。谁猜的结果离这个数最近，谁就会获得一份小小的奖品。
一张纸在来宾们之间传递，大家在纸上写下他们最喜爱的一个数或是位于那个区间中点的一个数或是任意挑选的一个数。但我敢保证，应用概率的视角，我能做得更聪明。
我决定挨到后面，让别人先猜。最后轮到我了。看了看那张纸，我发现上面写的数没有哪个在5000与7440之间。啊哈，有这么一个大空档，真好。要是挑这一空档中间的那个数，那我离别人就都会很远，我赢的概率就会很大。于是我在纸上写下6220，正好是那一空档中点的那个数。
我得意地靠在椅背上。晚会上共有20位来宾，我要是随便猜一个数，赢得奖品的概率只有1/20，即5%。而照我的聪明做法，选空档中点的数，那么邮政编码如果是介于5611与6829之间，我肯定赢。假定邮政编码是1000到9999之间任一个数的概率都一样，那我赢得这场竞猜游戏的概率就是13%——比5%的两倍还要大呢。应用概率的视角，我增加了自己的机会。
过了很久，结果宣布了——我居然输了！奖品由他人获得，他纯粹是瞎猜的！惨败之下，我安慰自己道，这样的竞猜游戏要是连着玩上100次，每次我都遵循前面那个同样的策略，那么大数定律就会起作用，我就能赢得100次竞猜中的13次——比别的任何对手都要多。
自那次晚会之后，我就一直在焦急地寻找另外99位来自葡萄牙的研究人员，希望他们每人都举办一场类似的猜邮政编码的游戏。如果你认识那么一位，请告诉我。
要想在玩与运气有关的游戏时胜出，得具备三个条件。首先，得仔细研究游戏本身，看能否找到一种策略，能让你 平均来看 会赢。其次，得一再地重复应用那种策略。第三，得耐心地等着大数定律最终把你引向成功。