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前文中，我们讨论了素数，并且给出了十进制数系中两个重要的数（即9和11）的特殊性质，它们位于基数10的两侧。我们对这两个数的部分讨论，说明了如何确定一个给定的数能否被这两个特殊的数中的某一个整除。不过，如果你能向观众展示如何能够通过观察一个给定的数，来判断它能否被某个素数整除，这一定会既有趣又令人印象深刻。我们在讨论整除性时已经考虑过前面几个素数了，因此接下来轮到素数7。为了判断一个给定的数能否被7整除，我们将采用以下技巧，然后更进一步，看看如何用它来发现其他素数的整除规则。我们用来判断一个给定的数能否被7整除的方法如下：
从给定的数中删除最后一位数字，然后将剩下的数减去这个被删除数字的2倍。如果结果能被7整除，那么原数也能被7整除。这个过程可以不断重复，直到结果可以通过简单观察就能判断能否被7整除为止。
让我们尝试用一个例子来看看这条规则是如何运作的。假设我们要测试680 715这个数能否被7整除。从680 715开始，删除它的个位数字5，并用剩下的数减去个位数字加倍后所得的10∶68 071-10=68 061。我们无法通过直接观察判断得到的这个数能否被7整除，因此用所得的数68 061继续这一流程，删除其个位数字1，并用剩下的数减去个位数字加倍后所得的2，得到：6806-2=6804。继续处理得到的数6804，删除其个位数字4，并用剩下的数减去个位数字加倍后所得的8，我们得到：680-8=672。继续处理所得的数672，删除其个位数字2，然后用剩下的数减去个位数字加倍后所得的4，得到：67-4=63，此时我们可以很容易看出它能被7整除。因此，原数680 715也能被7整除。
在我们继续讨论素数的整除性之前，明智的做法是先用几个随机选择的数来练习这项技巧，然后用计算器检查得出的结果是否正确。
为了证明这个判断能否被7整除的流程是正确的，请考虑各种可能的末位数字（即你正在“去掉”的数字），以及去掉末位数字所对应的实际减法。
你看到了，去掉末位数字并减去它的2倍，在每种情况下实际被减去的数都是7的倍数。也就是说，我们从原数中去掉了“成捆的7”。因此，如果剩下的数能被7整除，那么原数也可以被7整除，因为你把原数分成了两部分，其中每一部分都能被7整除，于是整个数就必定能被7整除
。
利用刚刚建立的用于判断一个数能否被7整除的技巧，我们应该能够创建用于判断一个数能否被其他素数整除的技巧。下一个要考虑的素数是13。判断一个数能否被13整除的方法如下：
判断一个数能否被13整除的方法与检验它能否被7整除的规则相似，只不过要将7替换为13，而且每次减去的数不再是被删数字的2倍，而是它的9倍。
我们考虑一个例子，检查9776这个数能否被13整除。首先删除它的个位数字6，然后用剩下的数减去9×6=54，得到977-54=923。由于无法通过直接观察判断所得的数923能否被13整除，我们继续处理这个923，删除它的个位数字3，并用剩下的数减去9×3=27，得到92-27=65。65能被13整除，因此原数9776也能被13整除。
现在，你可能想了解的是，这个技巧中的“乘数”9是如何确定的。我们找到以1结尾的13的最小倍数，它是91，其中十位数字是个位数字的9倍。下面再次考虑各种可能的末位数字和对应的实际减法
。
在每种情况下，都是从原数中一次或多次减去了13的倍数。因此，如果剩下的数能被13整除，那么原数也能被13整除。
如果前面的这些技巧得到恰当的展示，那么观众们的积极性应该被很好地激发了出来，并好奇地想看看他们自己能否确定一种技巧，用于测试一个给定数能否被17整除。我们将这种技巧提供如下：
删除个位数字，每次用剩下的数减去被删数字的5倍，直到你得到一个足够小的数，可以直接通过观察判断它能否被17整除。
证明判断被17整除的这个技巧，与证明判断被7和13整除的方法一样。这个流程的每一步都让我们从原数中减去“成捆的17”，直到把这个数减小到可以直接通过观察来检查它能否被17整除。这一次，我们要用到的乘数是5，因为以1结尾的17的最小倍数是51。
有了前面三个判断整除性的技巧中开发的模式（用于7、13和17），你应该能够构造出类似的模式来测试较大素数的整除性。下表显示了对应于各个素数的被删除数字要相乘的“乘数”。
你可能想要扩展这张表格。它富有乐趣，而且会加深观众对数学的理解。你可能还想让观众考虑整除性规则，来使其包括合数（即非素数）。下面这条规则中用的是互素因数，而不是任何因数，弄清楚其中的原因将加深他们对于数的性质的理解。也许对这个问题最简单的回答是：互素因数具有独立的整除性规则，而其他因数可能不是这样。因此，让你的观众考虑以下用于判断一个数能否被一个合数整除的技巧：
一个给定的数能被一个合数整除的条件是，它能被这个合数的每个互素因数整除。
若两个数没有除1以外的其他公因数，则它们互素。下表给出了这一规则的示例。
现在，你的观众不仅对于测试整除性的技巧有了一个相当全面的清单，而且对初等数论有了一种有趣的见解。你可以鼓励他们练习使用这些规则（逐渐强化熟悉程度），并尝试开发测试其他10进制数的整除性的技巧，还可以推广到其他进制的数。由于篇幅有限，这里无法更详细地展开了。不过，以上这些应该已足够让你激起观众对整除性的兴趣了。请记住，虽然这里已经给出一个相当宽泛的阐述，但它必须以一种使观众着迷的方式展示，而这取决于参与者的认知情况。