平方数的魔力

我们来看看平方数的某种“魔力”。首先，让我们稍稍绕个道，去欣赏另一种奇趣。有时一些非常简单的特性也可能很有趣。举个例子，只有2和11这两个数，它们各自的平方加上4会得到一个立方数。

2 ² =4，加上4，得到4+4=8=2 ³

11 ² =121，加上4，得到121+4=125=5 ³

现在让我们来观察正整数平方的一个列表，看看在其中是否能识别出什么模式。模式似乎总是会使观众得到充实或启迪。

在列出的这些平方数中，有一件事我们可能很快就会注意到，上面用粗体及下划线标明的个位数遵循特定的模式，即1，4，9，6，5，6，9，4，1，0， 1，4， 9 ， 6 ， 5 ， 6 ， 9 ，4，1， 0 ，1，…。 这种模式将无限延续下去。聪明人只要看到这一点，就可以推测出某些数字永远不会出现在个位上，因为它们在这个重复列表中是缺失的。也就是说，数字2，3，7，8永远不会是一个平方数的个位数。此外，由0分隔开的那些数是一个回文排列，很容易在这个数列中发现它们：1，4，9，6，5，6，9，4，1。

平方数可以提供的趣味数学问题很可能是无限的。例如，我们可以清楚地看到数字13和31是彼此的逆序数，它们的平方数分别是169和961，也是彼此的逆序数。此外，如果我们计算169和961这两个数的乘积，就会得到169×961=162 409=403 ² ，它也是一个平方数。更进一步，169的各位数字之和是1+6+9=16=4 ² ，169的平方根13的各位数字之和是1+3=4。除了这一对数之外，下面的另一对数也具有相同的令人惊叹的优美关系。

这两个数是12和21。如果我们遵循与13和31这两个数相同的模式，就会得到12 ² =144和21 ² =441。这两个数的乘积是144×441=63 504=252 ² 。此外还有1+4+4=9=3 ² 和1+2=3。这些都与13和31这两个数类似。

当我们欣赏平方数的时候，还会发现一些数，它们被称为自守数（automorphic number），它们的平方数以相同的数字结尾，例如：

5 ² =2 5

6 ² =3 6

76 ² =57 76

376 ² =141 376

625 ² =390 625

90 625 ² =8 212 8 90 625

890 625 ² =793 212 890 625

1 787 109 376 ² =3 193 759 92 1 787 109376

8 212 890 625 ² =67 451 572 41 8 212 890 625

在观察了这种模式之后产生的问题是，我们怎样才能创造出其他这样的自守数？

假设我们取上面倒数第二个自守数，切掉它左边的几位数字，考虑92 1 787 109 376 这个数。当我们对它取平方时，得到的数是849 691 475 011 76 1 787 109 376 。你会注意到最后10位数字是一样的。这对于上述任意一个自守数都能实现，比如我们从前面计算的那些数中也能看到90 625 ² =8 212 8 90 625 和890 625 ² =793 212 890 625 。

到这一刻，观众们可能想尝试在其中某些数的前面加上几位随机数字，而保持后端各位数字如上所示，结果发现在每种情况下都会创建出自守数。请记住，只有两组特定的数字后缀可用于创建自守数。例如，三位数中只有625和376这两个数可以用来构成自守数，就像1 234 625 ² =1 524 298 890 625 。

我们应该注意到，90 625这个数是唯一的五位数自守数。在上面可以看到这个五位数自守数的一些应用。以下是10 ¹⁵ 以内的自守数：

1，5，6，25，76，376，625，9376，90 625，109 376，890 625，2 890 625，

7 109 376，12 890 625，87 109 376，212 890 625，787 109 376，

1 787 109 376，8 212 890 625，18 212 890 625，81 787 109 376，

918 212 890 625，9 918 212 890 625，40 081 787 109 376，

59 918 212 890 625，259 918 212 890 625，740 081 787 109 376

到这一刻，对于构造出平方后的最后几位与原数相同的数，观众们已经有了很多实验和尝试。未来还会发现更多的乐趣！ mVJsPfGFvSM8dwbtd6xP1+oy3+/VS8Ox2WF5P3tN/YnRawNzY6gSxTalDoatYLB0