前言

逗大家开心是相当容易的。我们可以讲一个笑话，讲一个有趣的故事，展示一些有趣的照片，甚至可以唱一首歌。这些都是为公众提供乐趣的常见方式。不过，在这方面似乎有点出乎意料的是，我们也可以用不寻常但令人惊叹的数学知识逗乐大家。其中一些例子可能非常简单，甚至什么都不需要解释就可以达到目的。还有一些例子会被认为很了不起，它们能够引导读者真正欣赏数学，因为也许他们在学生时代没能意识到这一点。不幸的是，大多数学校的数学教学受到严格的课程引导，并被定期测验控制着。此外，一些学区会根据学生在标准化考试中的成绩来评定教师的教学表现。这就导致一个相当严格的教学计划，通常被称为“应试教学”。很遗憾，这样的教学计划几乎没有给展示数学的一些美的方面留下空间。而其中许多方面本来是可以用轻松的方式呈现的，它们可以相当有趣。在我们开启欣赏数学的各个有趣方面的旅程之前，了解是什么造就了这种乐趣非常重要。

当我们对普通读者进行调查时，经常会发现大多数人都会自豪地说，他们在上学的时候数学不是特别强，仿佛这是一枚要带到未来的荣誉勋章。不过，我们希望通过对数学的各个有趣方面的展示，能够改变人们对这门最重要学科的这种看法。在大多数情况下，为了具有趣味性，讲解的内容必须轻松、简短，不要过多建立在以往数学经验的基础上。有人甚至建议，“边吃边聊”可能是提供这些有趣方面的一个很好的方式。

例如，如果你在和朋友们聊天，并想让他们对你在数学方面的非凡智慧刮目相看，那么你可以向他们露一手，展示你如何心算一个两位数乘以11。你需要做的就是告诉他们把这两位数字相加，然后将和放在这两位数字之间。例如，34×11需要做加法3+4=7，然后将7放在3和4之间，得到374。一个可能立即提出的问题是“如果这两位数字之和大于9，你怎么办？”在这里，我们只需要将1与原来的十位数相加。例如，当我们做乘法78×11时，其中7+8=15，我们将5放在7和8之间，再将1和7相加，因此结果就是858。我们将在本书后面更详细地讨论这个主题，到那时我们将把乘以11的数扩展到两位以上。再说一遍，当我们展示任何趣味问题时，时间安排和呈现方式都很重要，我们将在呈现数学的许多有趣方面时设法提醒这一点。

有些时候，向观众展示一个不寻常的数学奇趣，得到的回应会是“这不可能”。例如，你取一个任意大小的数，然后将各位数字逆序得到另一个数。当你将这两个数相减时，其结果总是可以被9整除。比起匆匆忙忙忙地讲完这个例子，让观众用自己选择的数来尝试一番才是比较明智的做法。比如以1357这个数为例，其各位数字逆序的数是7531。这两个数之差是6174，等于9×686。顺便说一下，在这个随机的例子中，我们碰巧遇到了6174这个数，我们将在本书的后面探讨这个数的许多有趣的神奇之处。

本书中，我们将提供大量的趣味数学例子，包括几何、代数、概率、逻辑，以及其他一些领域，例如我们刚刚遇到的趣味算术。有些趣味数学活动需要一些逻辑思维，它们可以通过代数或数学的其他传统方面来加以解释。不过，最重要的是，它们很容易理解，并且会产生真正意想不到的结果，因此确实会带来乐趣。一个这样的例子可以用硬币来完成，它将向你展示某种聪明的推理，再加上非常基本的代数知识，帮助你整理出这个意想不到的结果。假设你和朋友坐在一间关了灯的黑屋子里的一张桌子旁。桌子上有12枚硬币，其中5枚正面朝上，7枚反面朝上。她知道这些硬币在哪里，因此可以通过滑动硬币来混合它们。但是由于房间很暗，她不知道她碰到的那些硬币最初是正面朝上还是反面朝上。现在，你让她把硬币分成两堆，分别是5枚和7枚，然后翻转5枚那一堆中的所有硬币。令所有人惊叹的是，当灯打开时，两堆硬币中正面朝上的硬币数量一定是相等的。朋友的第一反应是“你一定在开玩笑！”怎么可能有人能在看不清硬币是正面朝上还是反面朝上的情况下完成这项任务呢？该趣味问题的解答一定会令这位朋友大受启发，同时也会表明代数符号怎样帮助人们理解问题。

现在让我们来看一下对这个令人惊讶的结果的解释。在这里，巧妙运用代数将是解释这个意外结果的关键，它简单得令人难以置信。让我们“切入正题”。这12枚硬币中，有5枚正面朝上，7枚反面朝上。她在看不清硬币的情况下把它们分成两堆，每一堆分别有5枚和7枚。然后她翻转较少那堆中的5枚硬币，于是两堆中正面朝上的硬币数量就一样了。

好吧，稍做一点代数运算能在这里帮助我们理解实际上发生了什么。假设当她在黑暗的房间里把硬币分堆时，有 h 枚正面朝上的硬币在7枚那一堆里。于是在另一堆的5枚硬币里就会有5- h 枚正面朝上的硬币。为了得到5枚硬币那一堆中反面朝上的硬币数，我们从这堆硬币的总数5中减去正面朝上的（5- h ）枚，得到5-（5- h ）= h 枚反面朝上的硬币。

当她翻转较少那堆（5枚的硬币堆）中的所有硬币时，（5- h ）枚正面朝上的硬币变成了反面朝上，而 h 枚反面朝上的硬币变成了正面朝上。现在每一堆都有 h 枚正面朝上的硬币了！

将较少那堆中的硬币翻转后的情况

这个绝对令人惊讶的结果将向你展示：最简单的代数运算怎样解释了数学的有趣一面。

通过这些简短的例子，我们希望能让你感受到数学领域所能提供的许多意想不到的违反直觉的乐趣。现在就和我们一起踏上体验数学的这些有趣方面的旅程吧！