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今天淘气遇到了一个难题。他学过因数和倍数后，还没有什么题目可以难住他的，但今天这道题他左思右想，不知道该如何入手，我们一起去帮帮他吧！
【例】有四个不同的正整数，它们的和是715。如果让这四个数 的最大公因数尽可能大，那么这四个数中最大的一个数是多少？
本题只告诉我们这四个不同的正整数的总和，看起来好像特别难，无从下手。但我们如果能仔细想想其中的道理，那么这道题也并不是很难。在学过分解质因数后，我们可以这样想：若数M和数N含有公因数a（即M、N都能被a整除），那么M+N也一定含有因数a（即和也能被a整除）。例如，20能被5整除，15也能被5整除，即20和15都含有因数5，那么20+15也一定能被5整除，即同样含有因数5。再如我们来看较小的数，4中有因数2，6中有因数2，那么6+4中也肯定有因数2。
根据以上的推理，我们先把这四个不同的正整数的和进行分解，即：715=5×11×13。
要想使这四个数的最大公因数尽可能大，首先就应考虑它是“11×13”，但这时剩下的5不能是4个不同正整数的和；再考虑它们的最大公因数是“5×13”，那剩下的11就可以分成4个不同正整数的和，并且只有这样一种拆分法：11=1+2+3+5。至此，我们可以得出这四个数的最大公因数是：5×13=65，这四个不同的正整数分别是65×1=65，65×2=130，65×3=195，65×5=325，这里最大的一个数当然就是325了！
哈哈！看把淘气高兴的，他又学会了一招。小朋友，你学会了吗？下面，就请你来小试一下身手吧！
有三个不同的正整数，它们的和是357。如果让这三个数的最大公因数尽可能大，那么这三个数中最大的一个数是多少？
答案： 204。
解题思路：先把357进行分解，即357=3×7×17。把7拆分成1+2+4，最大公因数是51，即3×17，三个不同的正整数是51、102和204，所以最大的一个数就是204了。
寒冷的冬天到了，森林里下起了鹅毛大雪。这下可急坏了两只小松鼠，这样的天气怎么出去找吃的呢？但松鼠妈妈却一点儿也不担心。原来松鼠妈妈为了让全家安全过冬，早就藏好了很多松果。
松鼠妈妈微笑着说：“孩子，别急，妈妈早有准备！”
“哪里有吃的，快拿出来吧，我们都饿坏了！”两只小松鼠高兴地叫起来。
“想吃到松果，妈妈还得考考你们，你们答对了问题才能吃到！”松鼠妈妈神秘地说。
两只小松鼠一听更来劲儿了，异口同声地说：“妈妈，您赶快提问题吧。”
松鼠妈妈清了清嗓子，说：“我过冬前采了100个松果，把它们分别藏在了四个地方，第一个地方藏了一些，第二个地方藏的是第一个地方的3倍，第三个地方藏的是第一个地方的4倍，最后一个地方藏得最多，是前面几个地方松果数量的公倍数，你们猜猜妈妈分别在每个地方藏了多少松果？”
小松鼠兄弟俩听完皱起了眉头，这可怎么算啊？它们一会儿闭目思考，一会儿动手演算，可认真啦！过了一会儿，松鼠弟弟的眉头舒展开来，高兴地叫道：“妈妈，妈妈，我算出来啦，我算出来啦！”“是吗？”松鼠妈妈露出了笑容，“那你说说。”“是啊，快说说！”松鼠哥哥也瞪大了眼睛。
松鼠弟弟得意地说：“第一个地方藏了5个，第二个地方藏了15个，第三个地方藏了20个，第四个地方藏了60个，对不对啊，妈妈？”松鼠妈妈满意地点点头。松鼠哥哥着急地问：“你是怎么算出来的？快教教我。”
松鼠弟弟认真解释说：“妈妈在第一处藏了1份，那么第二处就是3份，第三处就是4份，已经藏了8份，关键是第四处，妈妈说这里藏的份数是前面几处的公倍数，那么这里藏的份数就应该是1、3、4的公倍数，1、3、4的公倍数有12、24、36、48等，而这些数中只有12加上前面的8（即20）是100的因数，因此第四处应该藏了12份。由此可知，松果总共被分成了20份，每份5个松果，这样就可以算出每处的松果数量啦。”
松鼠哥哥听完惭愧地说：“还是弟弟聪明，我太笨了。”松鼠妈妈说：“哪里是因为它聪明，这与它平时就爱动脑筋有关，你以后遇到问题也要多动脑思考，才能使头脑越来越灵活啊！”说完，松鼠妈妈拿出了松果，兄弟俩愉快地吃了起来。
听完这个故事后，小朋友，你跟着松鼠弟弟学会了如何找公倍数吗？
我们的学习伙伴淘气今天遇到了一些数学上的问题，小朋友们，咱们一起去帮助他解决一下吧！
【例1】淘气把5个大小相同的西瓜平均分给6个小朋友，每人 分得多少西瓜？每人分得5个西瓜的几分之几？
小朋友可千万不要着急，拿到题目后，我们首先要思考这些问题：现在想把5个大小相同的西瓜平均分给6个小朋友，要算出每人分得多少，我们可以用5÷6=
（个）。接下来看第二个问题：把5个西瓜平均分给6个小朋友，求每人分得5个西瓜的几分之几，也就是把5个西瓜看作单位“1”，把单位“1”平均分成6份，每份是
，即每人分得这5个西瓜的
。
小朋友，你听明白了吗？在平时你可一定要仔细审题、认真分析、谨慎思考，千万要看清每个问题之间的细小差别哟！
下面请你来小试一下身手吧！
一根绳子长12米，现在刘师傅需要用它来捆扎东西，把这根绳子平均分成19根，请你帮刘师傅算算，每根绳子占全长的几分之几？每根绳子长多少米？
【例2】学校食堂运来250吨大米，运来的面粉是大米的4倍少 30吨。食堂运来的大米和面粉总共多少吨？
这个问题其实不难，可以寻找出两条解决问题的途径呢，下面我们先来看看第一条途径吧！
题目要求算出食堂运来的大米和面粉总共多少吨，那么就必须先算出面粉的质量。算面粉的质量前要搞清楚面粉与大米之间的关系，从本题的第二个条件中可以得出：面粉的吨数=大米的吨数×4-30，又知道了运来大米的质量是250吨，所以面粉和大米的总质量是250×4-30+250=1220（吨），本题的最后综合算式是：
250×4 -30+250
=1000-30+250
=970+250
=1220（吨）
这种方法不错吧，你学会了吗？我们还有一条途径也可以解决这道问题，快跟着老师一起去看看吧。
题目要求算出食堂运来大米和面粉总共多少吨，首先同样需要搞清楚面粉与大米之间的关系，题目中告诉我们面粉的质量是大米的4倍少30吨，也就是说，250吨的大米被看成了一份（也就是我们常说的一倍量），面粉质量就是4个250吨再减30吨，于是我们可以求出面粉的质量是：大米质量的4倍-30吨，因此食堂运来大米和面粉的总吨数是：250×（1+4）-30=1220（吨），本题的最后综合算式是：
250×（1+4）-30
=250×5-30
=1250-30
=1220（吨）
这种方法你看明白了吗？学得如何？还是上面这一类的问题，我们把题目中的条件稍微换一下，解决问题的方法又会发生怎样的变化呢？请看例3。
【例3】学校食堂运来250吨大米，运来的大米是面粉的4倍少 30吨。食堂运来的大米和面粉总共多少吨？
第一种方法可以先这样想：要求算出食堂运来的大米和面粉总共多少吨，必须先算出面粉的质量，算面粉质量时要搞清楚面粉与大米之间的关系，从本题的第二个条件中可以看出，大米的吨数=面粉的吨数×4-30，因此面粉的吨数×4=250+30，求出面粉的吨数是280÷4=70（吨）。所以大米和面粉的总质量是70+250=320（吨），本题的最后综合算式是：
（250+30）÷4+250
=280÷4+250
=70+250
=320（吨）
小朋友，老师相信聪明的你又学会了一招。别着急，下面还有一种方法可以解决这个问题，快来看看，你有没有想到这个方法呢？
题目要求算出食堂运来大米和面粉总共多少吨，那么就必须先知道面粉的质量，算面粉质量时要搞清楚面粉与大米之间的关系，从本题的第二个条件可知“面粉的吨数×4-30=大米的吨数”。因此面粉吨数×4=250+30，可以轻松地求出面粉质量的4倍正好跟280吨大米同样重，如果把面粉的质量当作一份（也就是一倍量），那大米和面粉的总质量就是面粉的质量的（4+1）倍再减去30吨，所以用倍数关系也可以解决这个问题，本题的最后综合算式是：
（250+30）÷4×（1+4）-30
=280÷4×（1+4）-30
=70×5-30
=320（吨）
小朋友，这么算是不是感觉也挺简单的？现在，让我们来总结一下关于这类倍数方面的数学问题的解决方法吧。首先我们要找准一份的量（也就是我们常说的一倍量），然后再看一份的量是已知的还是未知的，最后再列出等量关系式。如果一份的量是已知的，我们就采用顺向思维，先乘再根据题目中说的是多还是少，采用顺向思维，多的就加上，少的就减去；如果一份的量是未知的，我们就采用逆向思维，根据题目中提供的条件是几倍多几还是几倍少几，若是“多几”的就要减去“几”再除以倍数，若是“少几”的就要加上“几”再除以倍数，这种逆向思维题无论是减几或加几，其目的就是要找到几倍量，然后才能除以倍数；逆向思维如果用方程把一倍量设为未知数，也可以按照顺向思维来解决。
1.红旗小学六年级有女生120人，男生人数是女生人数的2倍还少40人。这个学校六年级一共有多少名学生？
答案： 320名。
其中一种解题思路：男生人数=120×2-40=200，共有学生=120+200=320（名）。
2.小红妈妈到超市买了一些水果，有苹果、葡萄、柚子，一共花费了64元，其中苹果比葡萄少花费了18元，柚子比苹果和葡萄的总价少44元。买苹果花去了多少元？
答案： 18元。
其中一种解题思路：已知苹果+葡萄+柚子=64，苹果+葡萄-柚子=44，苹果+18=葡萄，可得：64-柚子=44+柚子，2份柚子的价格就是64-44=20（元），即1份柚子的价格是10元，那么葡萄+苹果=54，葡萄-苹果=18，2份苹果的价格就是54-18=36（元），即1份苹果的价格是18元。
“六一”节来了，同学们要参加方阵表演，老师要求这个方阵必须由64人组成，让大队长用最快的速度把阵排好，准备进行训练。这下可急坏了大队长，怎么排呢？还必须是方阵，大队长急得团团转。就在这时，只见大队长一拍脑袋，嘿！主意来了。小朋友，你知道大队长的主意是什么吗？
答案： 想（）×（）=64就可以了，即排成8行8列，这样方阵就肯定是一个完美的正方形啦。
暑假里的一天中午，天气十分炎热，池塘边大树上的知了在“知——知——”地叫个不停。树下，智慧老爷爷手拿芭蕉扇，悠闲地摇着，他的面前整齐地摆着8个大西瓜，上面4个，下面也是4个。在西瓜旁边还放着一块纸板，上面写着总价48元。今天，智慧老爷爷不仅要卖西瓜，而且还要考考小朋友们呢。他在心里盘算着，如果哪个聪明的小朋友能回答出来我的问题，我的西瓜就免费送给他。
就在智慧老爷爷心里默默盘算时，淘气来了，他想买两个西瓜，智慧老爷爷一听，微笑了起来，说：“可以啊，但你要自己把每个西瓜的价钱算好，算对了，我今天就把西瓜送给你。”
淘气一听，眼珠滴溜溜一转，说：“这很简单啊，一个西瓜的价格是48÷8=6（元），买两个西瓜的价格是6×2=12（元）。”
听淘气这么快就口算出了正确答案，智慧老爷爷乐呵呵地兑现了诺言，把两个西瓜都送给了淘气。淘气感谢了智慧老爷爷，正想抱着西瓜走，这时红红来了，她也想买两个西瓜。
智慧老爷爷马上转过脸对红红说：“今天我也来考考红红，不过你必须用跟淘气不一样的方法算出该付多少钱，如果能算对，我就把西瓜也送给你。”
红红一听，两眼看着这堆西瓜，绞尽脑汁地想着办法。哈哈！好主意终于来了，她说：“我先把这堆西瓜沿着横的方向一分为二，这样每份正好是4个西瓜，再把4个西瓜一分为二，每份正好就是两个西瓜啦！因此我的算式是48÷2=24（元），24÷2=12（元），两个西瓜正好是12元。”
智慧老爷爷伸出大拇指，赞赏地点着头说：“你们真是太棒了！分别用了不同的方法算出了两个西瓜的价钱，现在爷爷兑现承诺，把这两个西瓜送给红红。”
就在这时，他们的好伙伴明明也来买西瓜了，他一蹦一跳地跑了过来，说：“爷爷，我也要买两个西瓜。你们的对话我刚才都听见啦，我可以用跟他们俩都不同的方法算出要付的价格，所以爷爷您也送我两个西瓜，好不好？”
小朋友，你瞧明明多自信呀！他这么快就找到新的方法了，你知道他用的是什么方法吗？
答案： 把西瓜竖着平均分为4份，每份正好是两个西瓜，这样得出来的数就是两个西瓜的价格啦！算式是：48÷4=12（元）。小朋友，你看这个方法是不是特简单呀！
冬天马上要来了，松鼠妈妈让它的两个孩子去采一些松果准备过冬。松鼠妈妈说：“咱们家打算准备120千克的松果，你们要在3天之内完成这个任务，如果松鼠哥哥每天采25千克的松果，那么松鼠弟弟每天要采多少千克的松果呢？”
两只松鼠马上开始使劲地算啊算！因为它们必须先把每天要采多少千克的松果算出来，才能开始采松果。小朋友，你会算吗？其实这个问题可简单啦，可以用很多种方法来解决。
我们可以这样想：要想知道松鼠弟弟每天采多少千克的松果，就可以先把兄弟俩每天一共采多少千克的松果算出来，也就是用总数÷天数=每天一共要采的千克数，然后再用每天一共要采的千克数-松鼠哥哥每天要采的千克数，得到的就是松鼠弟弟每天要采的千克数。
这道题最后的算式是：
120÷3=40（千克）
40-25=15（千克）
我们还可以这样想：先把松鼠哥哥3天共采多少千克的松果算出来，再用松果的总质量-松鼠哥哥3天采的松果质量，得到的就是松鼠弟弟3天共采松果的千克数，然后再平均分给3天，就求出了松鼠弟弟1天要采的松果的千克数。这种算法的最后算式是：
25×3=75（千克）
120-75=45（千克）
45÷3=15（千克）
这道题除了上面这两种算法以外，我们还可以用列方程的方法来解决。如果我们把松鼠弟弟每天采的松果的质量设为x千克，那么松鼠弟弟3天就采了3x千克。而松鼠哥哥3天采的质量是（25×3）千克，这样它们采的质量之和正好是120千克，所以这道题的等量关系就轻松地找到了。因此我们可以这样列出方程：
3x+25×3=120
3x=120-75
3x=45
x=15
小朋友，你看多简单呀！注意，你在算完每种算法以后，可千万不要忘记写出最后的答案哟！这几种不同的算法你学会了吗？下面请你来小试一下身手吧！
1.王奶奶摘了苹果和橘子各5筐，每筐苹果重32千克，每筐橘子重30千克，请问，王奶奶一共收获了多少千克的橘子和苹果？
答案： 310千克。
解题思路：32×5+30×5=160+150=310（千克）。
2.在学校献爱心捐书活动中，三年级的小朋友最为踊跃，他们一共捐了342本书，现在要打包运往贫困山区。所有书一共打了6大包和6小包，其中大包每包32本，请问小包每包多少本？
答案： 25本。
其中一种解题思路：先算出大包的书的数量，32×6=192（本），再算出小包的书的数量，342-192=150（本），就能知道小包每包有多少本了，150÷6=25（本）。
小朋友，你知道在我们数学上所使用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字是怎么来的吗？人们常常把这些数字叫作“阿拉伯数字”，这是什么意思呢，这些数字是阿拉伯人发明的吗？其实并不是，这些数字是古印度人发明的。当时的欧洲宗教思想占统治地位，科学研究得不到统治阶级的支持，更谈不上什么发展了。那时，欧洲的一些学者通过从阿拉伯传来的大量书籍学到了许多科学知识，并把书中的知识全部当成了阿拉伯科学的成就。他们把经过阿拉伯改进后的古印度数字也当成了是阿拉伯数学家发明的，所以后来的人们就给这些数字取了统一的名字，叫“阿拉伯数字”。
过了若干年后，人们知道弄错了，但那时“阿拉伯数字”这个名字已经广泛流传，而且深入人心，再进行改正已经是一件十分困难的事了，所以至今人们还在叫这些数字为“阿拉伯数字”。
小朋友们，今天森林影院将要上映新的动画片，小动物们一听都可高兴啦，全部抢着去买票呢！现在已知影院有82个座位，每张门票卖12元，上午已经售出了55张门票，预计剩余的门票下午全部卖完。____________________？
现在请你在横线上提出不同的数学问题。这道题我们可以从以下几个方面来思考：根据题目中的“每张门票卖12元，上午已经售出了55张门票”这两个条件，我们可以提出这样的问题，“上午一共收入多少元？”这个问题解决起来十分简单，只要用门票的单价乘上午售出的张数，就可以得到上午的总收入了。
根据题目中的条件，我们还可以提出“下午一共收入多少元？”这个问题，它的解决方法跟第一个问题的解决方法一样，这里我们就不多说了。
除了上面两个问题，我们还可以这样提问，“一天共卖出多少元？”这个问题我们可以用两种不同的方法解决，一种是直接用座位总数乘门票的单价，另一种是分别用上午和下午售出的门票数乘单价再相加，这两种方法都可求出一天卖出多少元。
其实除了这三个问题以外，我们还可以提出两个比多少的问题，“上午比下午多收入多少元？下午比上午少收入多少元？”这两个问题在本质上是一样的，只要用上午的总钱数减去下午的总钱数即可。
马上要放映了，影院的管理员狮子大叔来检查秩序，它看见今天小猴来了30只，小兔来了24只，小羊来了3只，其他的动物一共来了25只。______________________？
小朋友，你从狮子大叔提供的这些数据中能提出不同的数学问题吗？看看你们谁的小脑袋最聪明，是今天的“问题大王”。那边我们的学习伙伴机灵狗来了，瞧它带来了这么多的问题呢！让我们一起看看吧。
1.小猴和小兔一共来了多少只？
2.小猴和其他动物共有多少只？
3.小兔和其他动物共有多少只？
4.小兔、小猴和小羊共有多少只？
5.小猴比小兔多多少只？（小兔比小猴少多少只？）
6.小兔比小羊多多少只？（小羊比小兔少多少只？）
7.小兔是小羊的几倍？（小羊是小兔的几分之几？）
8.小猴是小羊的几倍？（小羊是小猴的几分之几？）
…………
小朋友，你看看就这么一道小小的数学题，机灵狗提问都提不完呢！它一股脑儿提出了这么多的数学问题，结果还没有提完。我们今后在解决问题时，也要学习机灵狗的方法，能从不同的角度提出不同的数学问题，相信你在今后的学习中，如果能把这种方法掌握好，肯定会变得越来越聪明！
超市里有很多运动器材，其中每根跳绳8.60元、每个羽毛球拍26.80元、每个鸡毛毽子2.90元、每个乒乓球拍13.50元，买两个乒乓球拍和一个鸡毛毽子一共要多少元？请你算出答案后，再继续提出不同的数学问题吧。
答案： 29.9元，提问题略。
一天，小猴和小猪做游戏，小猴给了小猪三张卡片，让小猪用这三张卡片拼成一个正方形，并把拼好后的正方形卡片的面积和周长算出来。这可难坏了小猪，小猪无论如何尝试，也拼不出正方形，把它急得哼哼叫。这时聪明的小狗来了，小狗的眼睛一转，马上主意来了，它悄悄地走到小猪旁边，趴在小猪耳朵上嘀咕了几句，小猪立刻喜形于色，很快就拼出了一个正方形。小朋友，你知道小狗是用哪种方法教小猪拼成功的吗？
答案： 如右图，拼成的正方形边长为5分米，它的周长为20分米，面积是25平方分米。
