3.1 导数的概念

导数实质上是一个特定的极限，有着广泛的实际背景，下面就从导数产生的实际背景入手，介绍导数的概念.

3.1.1 引例

1）平面曲线切线的斜率

如图 3.1 所示，给定平面曲线 C ： y ＝ f （ x ），设点 P ₀ （ x ₀ ， y ₀ ）是 C 上的一点，求过点 P ₀ 的切线 P ₀ T.

在 C 上取一点 P （ x ₀ ＋Δ x ， y ₀ ＋Δ y ），当 P 趋近于 P ₀ 时，割线 PP ₀ 所趋近的确定位置即为切线 P ₀ T .由于割线 PP ₀ 的斜率为

所以当 P 趋近于 P ₀ 时，即Δ x →0，则切线 P ₀ T 的斜率就是极限

故切线 P ₀ T 的方程为

y － y ₀ ＝ k （ x － x ₀ ）.

当 k ＝ ±∞时， P ₀ T 的方程为 x ＝ x ₀ ，即此时的切线是竖直切线.

2）变速直线运动的瞬时速度

我们乘坐汽车在高速公路上感到很舒适时，汽车一般是以 100 km ／ h匀速前进的，而当汽车需要经过收费站时，就必须减速了，而在减速的过程中汽车的速度处于慢慢从高速到低速最后速度为 0.这个过程中每一时刻汽车的速度都不相同，如何求某时刻 t ₀ 汽车的瞬时速度呢？

设汽车所经过的路程 s 是时间 t 的函数： s ＝ s （ t ），任取接近于 t ₀ 的时刻 t ₀ ＋Δ t ，则汽车在这段时间内所经过的路程为

Δ s ＝ s （ t ₀ ＋ Δ t ）－ s （ t ₀ ）

而汽车在这段时间内的平均速度为

显然，Δ t 越小，平均速度 就与 t ₀ 时刻的瞬时速度 （ t ₀ ）越接近。因此，当Δ t →0 时，平均速度 的极限值称为 t ₀ 时刻的瞬时速度 （ t ₀ ），即

以上两个实例背景虽然不同，但从所得到的式（3.1）和式（3.2）可见，其实质都是一个特定的极限：当自变量的改变量趋于零时，函数改变量与自变量之比的极限。这个特定的极限就称为导数.

3.1.2 导数的定义

定义 1 设函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的某邻域 U 内有定义，当自变量 x 在点 x ₀ 处取得改变量Δ x （Δ x ≠0，且 x ₀ ＋Δ x ∈ U ）时，函数 y 取得相应的改变量

Δ y ＝ f （ x ₀ ＋ Δ x ）－ f （ x ₀ ）.

若极限

存在，则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 可导，并称此极限值为函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的 导数 ，记为

注： 定义 1 中，Δ x ，Δ y 分别称为 x ， y 的改变量或增量，可正可负.Δ 是函数 y 在以 x ₀ 和 x ₀ ＋Δ x 为端点的区间上的“平均变化率”，而导数 f′ （ x ₀ ）则是函数 y 在点 x ₀ 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.

函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 可导，有时也称为函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 具有导数 或 导数存在 ，点 x ₀ 称为 可导点 ；如果极限式（3.3）不存在，则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 不可导 ，此时点 x ₀ 称为 不可 导点 .

导数的定义式（3.4）也可采取不同的形式，若令 h ＝Δ x ，则式（3.3）改写为

若令 x ＝ x ₀ ＋Δ x ，则有

注： 式（3.3）、式（3.4）、式（3.5）都可作为导数的计算式，需要视实际情况而选用.

例 1 根据导数定义，求函数 y ＝ x ³ 在 x ＝ 1 处的导数 f ′ （1）.

解 根据导数定义，求导数通常分 3 步.

例 1 用了式（3.4）求导数，读者也可分别用式（3.3）和式（3.5）求此导数.

例 2 讨论函数 y ＝ 在 x ＝ 0 处的导数是否存在.

故函数 y ＝ 在 x ＝ 0 处不可导.

注 ：为方便起见，允许导数 f ′ （ x ₀ ）＝ ±∞ ，此时不能说 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 可导。恰恰相反，此时 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的导数不存在.

例 3 讨论 f （ x ）＝ 在 x ＝ 0 处的连续性与可导性.

解 因为 ≤1，所以sin 是有界函数，且 ＝ 0，故 sin ＝ 0.又因为 f （0）＝

＝ 0，所以 f （ x ）在 x ＝ 0 处连续.

但在 x ＝ 0 处有

由于 x →0 时，sin 在－1 和 1 之间振荡，故该极限不存在。因此， f （ x ）在 x ＝ 0 处不可导.

注： 例 3 表明，函数 y ＝ f （ x ）在其连续点不一定可导。但由以下定理可知，函数 y ＝ f （ x ）在其可导点处一定连续.

定理 1 如果函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 处可导，则 y ＝ f （ x ）在 x ₀ 处连续.

证 令Δ y ＝ f （ x ₀ ＋Δ x ）－ f （ x ₀ ），则

故 y ＝ f （ x ）在 x ₀ 处连续.

3.1.3 左导数和右导数

由于函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的导数是否存在，取决于极限

是否存在，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此，导数 f ′ （ x ₀ ）存在的充分必要条件是下列的左、右极限

都存在且相等。这两个极限分别称为函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的 左导数 和 右导数 ，分别记作 （ x ₀ ）和 （ x ₀ ）.

定理 2 函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 处可导的充分必要条件是：函数 y ＝ f （ x ）在点 x ₀ 的左导数和右导数都存在且相等.

注： 定理 2 常用于讨论分段函数在分段点的导数.

例4 问函数 f （ x ）＝ 在 x ＝ 0 处是否可导？如可导，求其导数.

解 考查 x ＝ 0 处的左、右导数

所以，函数在 x ＝ 0 处可导，且 f ′ （0）＝ 0.

例 5 讨论函数 f （ x ）＝ 在 x ＝ 0 处的可导性.

解 考查 x ＝ 0 处的左、右导数

由于 （0）≠ （0），因此 f （ x ）＝ 在 x ＝ 0 处不可导.

读者可画出该函数的图像，通过分析，可以发现曲线在点 x ＝ 0 处出现“尖点”的现象。如果函数在某点可导，则其图形必定在该点处于“光滑”状态.

3.1.4 函数的导数

以上讨论的是函数在某点的导数，如果函数 y ＝ f （ x ）在开区间（ a ， b ）每点均可导，则称函数 y ＝ f （ x ）在 开区间 （ a ， b ） 内可导 .此时，对于（ a ， b ）内的每一个点 x ，均对应函数 f （ x ）的一个导数值 f ′ （ x ），因此也就构成了一个新的函数，这个函数称为 f （ x ）的 导函数 ，通常仍简称为导数。记为

根据定义 1，可得函数导数计算式为

现用式（3.6）来计算一些常用的初等函数的导数.

例 6 求函数 f （ x ）＝ C （ C 为常数）的导数.

解 f ′ （ x ）＝ ＝ 0，

即

（C）′＝ 0.

例 7 求函数 y ＝ x ⁿ （ n 为正整数）的导数.

解 （ x ⁿ ）′＝ ＝ nx ^{n －1} ，

即

（ x ⁿ ）′＝ nx ⁿ － ¹ .

更一般地，有

如果已知函数的导函数 f ′ （ x ），要求函数在某点的导数 f ′ （ x ₀ ），则只要代入该点计算即可，即

如例 1 可利用例 7 的结果，因为（ x ³ ）′＝ 3 x ² ，所以 y ＝ x ³ 在 x ＝ 1 处的导数 f ′ （1）＝ 3×1 ² ＝ 3.

想一想： 式 f ′ （ x ₀ ）＝ [ f （ x ₀ ）]′是否成立？

例 8 设函数 f （ x ）＝ sin x ，求（sin x ）′及（sin x ）′

解 利用式（3.7）及正弦的“和差化积”公式，得

即

类似可得：（cos x ）′＝ －sin x .读者可试推导之.

例 9 求函数 f （ x ）＝ a ^x （ a ＞0， a ≠1）的导数.

即（ a ^x ）′＝ a ^x ln a ，特别地，当 a ＝ e时，（e ^x ）′＝ e ^x .

想一想 ：（e－ ^x ）′＝ ？

例 10 求函数 y ＝ log _a x （ a ＞0， a ≠1）的导数.

即（log _a x ）′＝ .特别地，有（ln x ）′＝ .

以上推导的导数公式可直接用来解决相关问题，必须熟练掌握。其他基本初等函数的导数公式将在下一节介绍.

3.1.5 导数的几何意义

在本节第一部分的两个实例中，关于速度问题的结论可简述为：作直线运动的质点的瞬时速度 （ t ）是路程对 s （ t ）时间 t 的导数，即 （ t ）＝ s′ （ t ）.

关于切线问题的结论可叙述为：若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）有切线，则其斜率为导数 f ′ （ x ₀ ）.简言之，导数 f ′ （ x ₀ ）的几何意义为曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）的切线斜率.

当 f ′ （ x ₀ ）存在时，曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）的切线方程为

若 f ′ （ x ₀ ）＝ ±∞ ，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）有垂直于 x 轴的切线 x ＝ x ₀ .

过切点（ x ₀ ， y ₀ ）且与切线垂直的直线称为曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）的法线，故相对应的法线方程为

想一想： 当 f′ （ x ₀ ）＝ 0 和 f′ （ x ₀ ）＝ ±∞时，曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x ₀ ， y ₀ ）的法线方程分别是什么方程？

例 11 求等边双曲线 y ＝ 在点 处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解 由导数的几何意义，得切线斜率为

所求切线方程为 y － ＝ （ x －3），即 x ＋9 y －9 ＝ 0.

法线方程为 y － ＝ 9（ x －3），即 27 x －3 y －80 ＝ 0.

例 12 求曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线与 y 轴的交点.

解 曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线斜率为

故切线方程为 y ＝ x －1.

上式中，令 x ＝ 0，得 y ＝ －1.

所以，曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线与 y 轴的交点为（0，－1）.

习题 3.1

1.已知 f ′ （ x ₀ ）＝ k ，求下列极限.

2.函数 f （ x ）＝ 在 x ＝ 0 处是否可导？如可导，求其导数.

3.讨论函数

在点 x ＝ 0 和 x ＝ 1 处的连续性与可导性.

4.求等边双曲线 y ＝ 在点 处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

5.求曲线 y ＝ ln x 在点（e，1）处的切线与 y 轴的交点. s7YSjPWoTT5vVP8/Tnz+EIfzGUwu9a9qAtMXORXdA6LTYa45QsOkxfFOpTd9Nkue