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导数实质上是一个特定的极限，有着广泛的实际背景，下面就从导数产生的实际背景入手，介绍导数的概念.
如图 3.1 所示，给定平面曲线 C ： y ＝ f （ x ），设点 P 0 （ x 0 ， y 0 ）是 C 上的一点，求过点 P 0 的切线 P 0 T.
在 C 上取一点 P （ x 0 ＋Δ x ， y 0 ＋Δ y ），当 P 趋近于 P 0 时，割线 PP 0 所趋近的确定位置即为切线 P 0 T .由于割线 PP 0 的斜率为
所以当 P 趋近于 P 0 时，即Δ x →0，则切线 P 0 T 的斜率就是极限
故切线 P 0 T 的方程为
图 3.1
y － y 0 ＝ k （ x － x 0 ）.
当 k ＝ ±∞时， P 0 T 的方程为 x ＝ x 0 ，即此时的切线是竖直切线.
我们乘坐汽车在高速公路上感到很舒适时，汽车一般是以 100 km ／ h匀速前进的，而当汽车需要经过收费站时，就必须减速了，而在减速的过程中汽车的速度处于慢慢从高速到低速最后速度为 0.这个过程中每一时刻汽车的速度都不相同，如何求某时刻 t 0 汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程 s 是时间 t 的函数： s ＝ s （ t ），任取接近于 t 0 的时刻 t 0 ＋Δ t ，则汽车在这段时间内所经过的路程为
Δ s ＝ s （ t 0 ＋ Δ t ）－ s （ t 0 ）
而汽车在这段时间内的平均速度为
显然，Δ
t
越小，平均速度
就与
t
0
时刻的瞬时速度
（
t
0
）越接近。因此，当Δ
t
→0 时，平均速度
的极限值称为
t
0
时刻的瞬时速度
（
t
0
），即
以上两个实例背景虽然不同，但从所得到的式（3.1）和式（3.2）可见，其实质都是一个特定的极限：当自变量的改变量趋于零时，函数改变量与自变量之比的极限。这个特定的极限就称为导数.
定义 1 设函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的某邻域 U 内有定义，当自变量 x 在点 x 0 处取得改变量Δ x （Δ x ≠0，且 x 0 ＋Δ x ∈ U ）时，函数 y 取得相应的改变量
Δ y ＝ f （ x 0 ＋ Δ x ）－ f （ x 0 ）.
若极限
存在，则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 可导，并称此极限值为函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的 导数 ，记为
注：
定义 1 中，Δ
x
，Δ
y
分别称为
x
，
y
的改变量或增量，可正可负.Δ
是函数
y
在以
x
0
和
x
0
＋Δ
x
为端点的区间上的“平均变化率”，而导数
f′
（
x
0
）则是函数
y
在点
x
0
处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.
函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 可导，有时也称为函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 具有导数 或 导数存在 ，点 x 0 称为 可导点 ；如果极限式（3.3）不存在，则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 不可导 ，此时点 x 0 称为 不可 导点 .
导数的定义式（3.4）也可采取不同的形式，若令 h ＝Δ x ，则式（3.3）改写为
若令 x ＝ x 0 ＋Δ x ，则有
注： 式（3.3）、式（3.4）、式（3.5）都可作为导数的计算式，需要视实际情况而选用.
例 1 根据导数定义，求函数 y ＝ x 3 在 x ＝ 1 处的导数 f ′ （1）.
解 根据导数定义，求导数通常分 3 步.
例 1 用了式（3.4）求导数，读者也可分别用式（3.3）和式（3.5）求此导数.
例 2
讨论函数
y
＝
在
x
＝ 0 处的导数是否存在.
故函数
y
＝
在
x
＝ 0 处不可导.
注 ：为方便起见，允许导数 f ′ （ x 0 ）＝ ±∞ ，此时不能说 y ＝ f （ x ）在点 x 0 可导。恰恰相反，此时 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的导数不存在.
例 3
讨论
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处的连续性与可导性.
解
因为
≤1，所以sin
是有界函数，且
＝ 0，故
sin
＝ 0.又因为
f
（0）＝
＝ 0，所以
f
（
x
）在
x
＝ 0 处连续.
但在 x ＝ 0 处有
由于
x
→0 时，sin
在－1 和 1 之间振荡，故该极限不存在。因此，
f
（
x
）在
x
＝ 0 处不可导.
注： 例 3 表明，函数 y ＝ f （ x ）在其连续点不一定可导。但由以下定理可知，函数 y ＝ f （ x ）在其可导点处一定连续.
定理 1 如果函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 处可导，则 y ＝ f （ x ）在 x 0 处连续.
证 令Δ y ＝ f （ x 0 ＋Δ x ）－ f （ x 0 ），则
故 y ＝ f （ x ）在 x 0 处连续.
由于函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的导数是否存在，取决于极限
是否存在，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此，导数 f ′ （ x 0 ）存在的充分必要条件是下列的左、右极限
都存在且相等。这两个极限分别称为函数
y
＝
f
（
x
）在点
x
0
的
左导数
和
右导数
，分别记作
（
x
0
）和
（
x
0
）.
定理 2 函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 处可导的充分必要条件是：函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的左导数和右导数都存在且相等.
注： 定理 2 常用于讨论分段函数在分段点的导数.
例4
问函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处是否可导？如可导，求其导数.
解 考查 x ＝ 0 处的左、右导数
所以，函数在 x ＝ 0 处可导，且 f ′ （0）＝ 0.
例 5
讨论函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处的可导性.
解 考查 x ＝ 0 处的左、右导数
由于
（0）≠
（0），因此
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处不可导.
读者可画出该函数的图像，通过分析，可以发现曲线在点 x ＝ 0 处出现“尖点”的现象。如果函数在某点可导，则其图形必定在该点处于“光滑”状态.
以上讨论的是函数在某点的导数，如果函数 y ＝ f （ x ）在开区间（ a ， b ）每点均可导，则称函数 y ＝ f （ x ）在 开区间 （ a ， b ） 内可导 .此时，对于（ a ， b ）内的每一个点 x ，均对应函数 f （ x ）的一个导数值 f ′ （ x ），因此也就构成了一个新的函数，这个函数称为 f （ x ）的 导函数 ，通常仍简称为导数。记为
根据定义 1，可得函数导数计算式为
现用式（3.6）来计算一些常用的初等函数的导数.
例 6 求函数 f （ x ）＝ C （ C 为常数）的导数.
解
f ′
（
x
）＝
＝ 0，
即
（C）′＝ 0.
例 7 求函数 y ＝ x n （ n 为正整数）的导数.
解
（
x
n
）′＝
＝
nx
n
－1
，
即
（ x n ）′＝ nx n － 1 .
更一般地，有
如果已知函数的导函数 f ′ （ x ），要求函数在某点的导数 f ′ （ x 0 ），则只要代入该点计算即可，即
如例 1 可利用例 7 的结果，因为（ x 3 ）′＝ 3 x 2 ，所以 y ＝ x 3 在 x ＝ 1 处的导数 f ′ （1）＝ 3×1 2 ＝ 3.
想一想： 式 f ′ （ x 0 ）＝ [ f （ x 0 ）]′是否成立？
例 8
设函数
f
（
x
）＝ sin
x
，求（sin
x
）′及（sin
x
）′
解 利用式（3.7）及正弦的“和差化积”公式，得
即
类似可得：（cos x ）′＝ －sin x .读者可试推导之.
例 9 求函数 f （ x ）＝ a x （ a ＞0， a ≠1）的导数.
即（ a x ）′＝ a x ln a ，特别地，当 a ＝ e时，（e x ）′＝ e x .
想一想 ：（e－ x ）′＝ ？
例 10 求函数 y ＝ log a x （ a ＞0， a ≠1）的导数.
即（log
a
x
）′＝
.特别地，有（ln
x
）′＝
.
以上推导的导数公式可直接用来解决相关问题，必须熟练掌握。其他基本初等函数的导数公式将在下一节介绍.
在本节第一部分的两个实例中，关于速度问题的结论可简述为：作直线运动的质点的瞬时速度
（
t
）是路程对
s
（
t
）时间
t
的导数，即
（
t
）＝
s′
（
t
）.
关于切线问题的结论可叙述为：若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）有切线，则其斜率为导数 f ′ （ x 0 ）.简言之，导数 f ′ （ x 0 ）的几何意义为曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）的切线斜率.
当 f ′ （ x 0 ）存在时，曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）的切线方程为
若 f ′ （ x 0 ）＝ ±∞ ，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）有垂直于 x 轴的切线 x ＝ x 0 .
过切点（ x 0 ， y 0 ）且与切线垂直的直线称为曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）的法线，故相对应的法线方程为
想一想： 当 f′ （ x 0 ）＝ 0 和 f′ （ x 0 ）＝ ±∞时，曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x 0 ， y 0 ）的法线方程分别是什么方程？
例 11
求等边双曲线
y
＝
在点
处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义，得切线斜率为
所求切线方程为
y
－
＝
（
x
－3），即
x
＋9
y
－9 ＝ 0.
法线方程为
y
－
＝ 9（
x
－3），即 27
x
－3
y
－80 ＝ 0.
例 12 求曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线与 y 轴的交点.
解 曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线斜率为
故切线方程为 y ＝ x －1.
上式中，令 x ＝ 0，得 y ＝ －1.
所以，曲线 y ＝ ln x 在点（1，0）处的切线与 y 轴的交点为（0，－1）.
1.已知 f ′ （ x 0 ）＝ k ，求下列极限.
2.函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处是否可导？如可导，求其导数.
3.讨论函数
在点 x ＝ 0 和 x ＝ 1 处的连续性与可导性.
4.求等边双曲线
y
＝
在点
处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.
5.求曲线 y ＝ ln x 在点（e，1）处的切线与 y 轴的交点.