购买
下载掌阅APP,畅读海量书库
立即打开
畅读海量书库
扫码下载掌阅APP

2.6 函数的连续与间断

自然界中许多变量都是连续变化的,如气温的变化、作物的生长、放射性物质存量的减少等。其特点是当时间的变化很微小时,这些量的变化也很微小,这种现象反映在数学上,就是函数的连续性。与连续性对立的一个概念,称为间断。下面我们将利用极限给出连续性的概念.

2.6.1 变量的增量

定义 1 设函数 y f x )在点 x 0 的某个邻域内有定义,当自变量从 x 0 变到 x ,相应的函数值从 f x 0 )变到 f x ),则称 x x 0 自变量的改变量(或增量) ,记作Δ x x x 0 (它可正可负),称 f x )- f x 0 )为 函数的改变量(或增量) ,记作Δ y ,即

Δ y f x )- f x 0 )或Δ y f x 0 + Δ x )- f x 0 ).

在几何上,函数的改变量表示当自变量从 x 0 变到 x 0 +Δ x 时,曲线上相应点的纵坐标的改变量,如图 2.9所示.

注: 改变量可能为正,也可能为负,还可能为零.

例 1 求函数 y x 2 ,当 x 0 = 1,Δ x = 0.1 时的改变量.

Δ y f x 0 +Δ x )- f x 0 )= f (1+0.1)- f (1)

f (1.1)- f (1)= 1.1 2 -1 2 = 0.21.

图 2.9

2.6.2 函数的连续性

定义 2 设函数 f x )在点 x 0 的某个邻域内有定义,如果

则称函数 y f x )在点 x 0 处连续, x 0 称为函数 f x )的 连续点.

上述定义中,设 x 0 +Δ x x ,当Δ x →0 时,有 x x 0 ,而

Δ y f x 0 + Δ x )- f x 0 )= f x )- f x 0 ),

因此定义 2 中的式子也可以改写成

所以函数 y f x )在点 x 0 处连续的定义又可以叙述为

定义 2′ 设函数 f x )在点 x 0 的某个邻域内有定义,如果

则称函数 y f x )在点 x 0 处连续.

例 2 讨论函数 f x )=íìïïîx sin1 ,x1,xx ≠= 00.,在点 x = 0 处的连续性.

因为 sin = 0,但是 f (0)= 1,所以

故函数 f x )在点 x = 0 处不连续.

有时需要考虑函数在某点 x 0 一侧的连续性,由此引进左、右连续的概念.

定义 3 如果 f x 0 ),则称函数 f x )在点 x 0 右连续 ;如果 x f x 0 ),则称函数 f x )在点 x 0 处左连续 .

由函数的极限与其左、右极限的关系,容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.

定理 1 函数 f x )在点 x 0 处连续的充分必要条件是: f x )在点 x 0 处左连续且右连续,即

定理 1 通常用来讨论分段函数在分界点的连续性.

例 3 讨论函数 f x) =x = 在点 x = 0 处的连续性,如图 2.10 所示.

因为

图 2.10

且有

f (0)= 0.

所以

因此函数 y f x )在点 x = 0 处连续.

例 4 设函数

a 为何值时,函数 y f x )在点 x = 0 处连续?

因为 f (0)= 5,且

故由定理 1 知,当 a = 5 时, y f x )在点 x = 0 处连续.

定义 4 如果函数 f x )在开区间( a b )内每一点都连续,则称函数 f x )在 区间 a b 连续 ,或称函数 f x )是( a b )内的连续函数,记为 f x )∈ C a b ).

如果 f x )在区间( a b )内连续,且在 x a 处右连续,又在 x b 处左连续,则称函数 f x )在 闭区间 [ a b ] 上连续 ,记为 f x )∈ C [ a b ].

函数 y f x )的连续点全体所构成的区间称为函数的连续区间。在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.

由连续函数的定义及极限的运算法则,可得出如下结论:

(1)连续函数的和、差、积、商(分母不为零)都是连续函数;

(2)连续函数的复合函数仍为连续函数,连续函数的反函数在其对应区间上也是连续的;(3)初等函数在其定义区间内是连续的.

例 5

函数 f x )= sin 是初等函数,且在 x = 0 处有定义,所以

例 6 arctan

因为 u ,当 x →∞时, u →1,而 y = arctan u u = 1 处连续,故

注: 这表示极限符号 与复合函数的符号 f 可以交换次序.

2.6.3 函数的间断点

定义 5 设函数 f x )在点 x 0 的某个邻域内有定义,如果函数 f x )在点 x 0 处不连续,就称函数 f x )在点 x 0 间断 x x 0 称为函数 y f x )的 间断点或不连续点 .

由函数 f x )在点 x 0 连续的定义可知, f x )在点 x 0 连续必须同时满足以下 3 个条件:

(1)函数 f x )在点 x 0 有定义( x 0 D );

(2) 存在;

(3) f x 0 ).

如果函数 f x )不满足 3 个条件中的任何一个,那么点 x x 0 就是函数 f x )的一个间断点.

函数的间断点可分为以下几种类型:

(1)如果函数 f x) 在点 x 0 处的左、右极限 f x 0 -0)与 f x 0 +0)都存在,则称 x x 0 为函数 f x )的 第一类间断点 .

如果 f x )在点 x 0 处的左、右极限存在且相等,即 存在,但不等于该点处的函数值,即 A f x 0 ),或者 存在,但函数在 x 0 处无定义,则称 x x 0 为函数的 可去 间断点 .

如果 f x )在点 x 0 处的左、右极限存在但不相等,则称 x x 0 为函数 f x )的 跳跃间断点 .

(2)如果函数 f x )在点 x 0 处的左、右极限 f x 0 -0)与 f x 0 +0)中至少有一个不存在,则称 x x 0 为函数 f x )的 第二类间断点 .

例7 函数 f x )= x = 1 处没有定义,所以 x = 1 是 f x )的间断点;又因为 x 2 x +1)= 3.所以, x = 1 为函数 f x )的可去间断点。若补充定义,令 f (0)= 1,则函数 f x )= x = 1 处连续.

例 8 讨论函数

在点 x 0 = 0 处的连续性.

由于 2 x = 0,而 f (0)= 1,由定义知函数在点 x 0 = 0 处不连续. x = 0 为函数 f x )的可去间断点。若修改函数的定义,令 f (0)= 0,则函数

在点 x 0 = 0 处连续,如图 2.11 所示.

图 2.11

由于函数在可去间断点 x 0 处的极限存在,函数在点 x 0 不连续的原因是它的极限不等于该点的函数值 f x 0 ),或者是 f x )在点 x 0 处无定义,所以我们可以补充或改变函数在点 x 0 处的定义,若令 f x 0 )= ,就能使点 x 0 成为连续点。如在例 6 中可补充定义 f (1)= 3,例 7中可改变函数在 x = 0 处的定义,令 f (0)= 0,则分别使两例中的函数在 x = 1 与 x = 0 处连续.

例 9 讨论函数 f x )= x = 0 处的连续性.

因为

所以, x = 0 为 f x )的跳跃间断点,如图 2.12 所示.

例 10 函数 f x )= x = 1 处无定义,所以 x = 1 为 f x )的间断点。因为 = ∞ ,所以 x = 1 为 f x )的第二类间断点.

由于 = ∞ ,又称 x = 1 为 无穷间断点 .x→1

图 2.12

图 2.13

例 11 函数 f x )= sin 在点 x = 0 处无定义,所以 x = 0 为 f x )的间断点。当 x →0 时, f x )= sin 的值在-1 与 1 之间无限次地振荡,因而不能趋向于某一定值,于是 sin 不存在,所以 x = 0 是 f x )的第二类间断点(图 2.13).此时也称 x = 0 为 振荡间断点 .

2.6.4 闭区间上连续函数的性质

下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质,并给出几何说明.

定理 2(最大值和最小值定理) 设函数 f x )在闭区间[ a b ]上连续,则在[ a b ]上至少存在两点 x 1 x 2 ,使得对任何 x ∈[ a b ],都有

f x 1 )≤ f x )≤ f x 2 ).

这里, f x 2 )和 f x 1 )分别称为函数 f x )在闭区间[ a b ]上的最大值和最小值(图 2.14).

注: (1)对于开区间内的连续函数或在闭区间上有间断点的函数,定理的结论不一定成立。例如,函数 y x 2 在开区间(0,1)内连续,但它在(0,1)内不存在最大值和最小值。又如函数

在闭区间[-1,1]上有间断点 x = 0, f x )在闭区间[-1,1]上也不存在最大值和最小值(图 2.15).

图 2.14

图 2.15

(2)定理 3 中达到最大值和最小值的点也可能是区间[a,b]的端点,例如,函数y = 2x+1在[-1,2]上连续,其最大值为f(2)= 5;最小值为f(-1)= -1.均在区间[-1,2]的端点处取得.

定理 3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,则对于满足m≤μ≤M的任何实数μ,至少存在一点ξ∈[a,b],使得

f(ξ)= μ.

定理 4 表明:闭区间[a,b]上的连续函数f(x)可以取遍m与M之间的一切数值,这个性质反映了函数连续变化的特征,其几何意义是:闭区间上的连续曲线y = f(x)与水平直线y = μ(m≤μ≤M)至少有一个交点(图 2.16).

推论(零点存在定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)= 0.

x = ξ称为函数y =f(x)的零点。由零点存在定理可知,x = ξ为方程f(x)= 0 的一个根,且ξ位于开区间(a,b)内,所以利用零点存在定理可以判断方程f(x)= 0 在某个开区间内存在实根。故零点存在定理也称为方程实根的存在定理,它的几何意义是:当连续曲线y =f(x)的端点A,B在x轴的两侧时,曲线y =f(x)与x轴至少有一个交点(图 2.17).

图 2.16

图 2.17

例 12 证明方程x 4 +1 = 5x 2 在区间(0,1)内至少有一个实根.

证 设f(x)= x 4 -5x 2 +1.因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,又有

f(0)= 0,f(1)= -3,

f(0)·f(1)< 0.

根据零点存在定理知,至少存在一点ξ∈(0,1),使得f(ξ)= 0,即

ξ 4 -5ξ 2 + 1 = 0.

因此,方程x 4 +1 = 5x 2 在(0,1)内至少有一个实根ξ.

习题 2.6

1.研究下列函数的连续性.

2.求下列函数的间断点,并判断其类型。如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使其在该点连续.

3.在下列函数中,当 a 取什么值时函数 f x )在其定义域内连续?

4.求下列函数的极限.

5.证明方程 x 3 -3 x 2 +1 = 0 至少有一个小于 1 的正根. rt/uQ7ja2a5Gt1c1XY3VNsj6Q2zBYdIeVNH4NmsZvNfLBSRZS/BzjbWUwolEvxbK

点击中间区域
呼出菜单
上一章
目录
下一章
×