下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
自然界中许多变量都是连续变化的，如气温的变化、作物的生长、放射性物质存量的减少等。其特点是当时间的变化很微小时，这些量的变化也很微小，这种现象反映在数学上，就是函数的连续性。与连续性对立的一个概念，称为间断。下面我们将利用极限给出连续性的概念.
定义 1 设函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 的某个邻域内有定义，当自变量从 x 0 变到 x ，相应的函数值从 f （ x 0 ）变到 f （ x ），则称 x － x 0 为 自变量的改变量（或增量） ，记作Δ x ＝ x － x 0 （它可正可负），称 f （ x ）－ f （ x 0 ）为 函数的改变量（或增量） ，记作Δ y ，即
Δ y ＝ f （ x ）－ f （ x 0 ）或Δ y ＝ f （ x 0 ＋ Δ x ）－ f （ x 0 ）.
在几何上，函数的改变量表示当自变量从 x 0 变到 x 0 ＋Δ x 时，曲线上相应点的纵坐标的改变量，如图 2.9所示.
注： 改变量可能为正，也可能为负，还可能为零.
例 1 求函数 y ＝ x 2 ，当 x 0 ＝ 1，Δ x ＝ 0.1 时的改变量.
解 Δ y ＝ f （ x 0 ＋Δ x ）－ f （ x 0 ）＝ f （1＋0.1）－ f （1）
＝ f （1.1）－ f （1）＝ 1.1 2 －1 2 ＝ 0.21.
图 2.9
定义 2 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某个邻域内有定义，如果
则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 处连续， x 0 称为函数 f （ x ）的 连续点.
上述定义中，设 x 0 ＋Δ x ＝ x ，当Δ x →0 时，有 x → x 0 ，而
Δ y ＝ f （ x 0 ＋ Δ x ）－ f （ x 0 ）＝ f （ x ）－ f （ x 0 ），
因此定义 2 中的式子也可以改写成
即
所以函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 处连续的定义又可以叙述为
定义 2′ 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某个邻域内有定义，如果
则称函数 y ＝ f （ x ）在点 x 0 处连续.
例 2 讨论函数 f （ x ）＝íìïïîx sin1 ，x1，xx ≠＝ 00.，在点 x ＝ 0 处的连续性.
解
因为
sin
＝ 0，但是
f
（0）＝ 1，所以
故函数 f （ x ）在点 x ＝ 0 处不连续.
有时需要考虑函数在某点 x 0 一侧的连续性，由此引进左、右连续的概念.
定义 3
如果
＝
f
（
x
0
），则称函数
f
（
x
）在点
x
0
处
右连续
；如果
x
＝
f
（
x
0
），则称函数
f
（
x
）在点
x
0
处左连续
.
由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.
定理 1 函数 f （ x ）在点 x 0 处连续的充分必要条件是： f （ x ）在点 x 0 处左连续且右连续，即
定理 1 通常用来讨论分段函数在分界点的连续性.
例 3
讨论函数
f
（
x）
＝x ＝
在点
x
＝ 0 处的连续性，如图 2.10 所示.
解 因为
图 2.10
且有
f （0）＝ 0.
所以
因此函数 y ＝ f （ x ）在点 x ＝ 0 处连续.
例 4 设函数
问 a 为何值时，函数 y ＝ f （ x ）在点 x ＝ 0 处连续？
解 因为 f （0）＝ 5，且
故由定理 1 知，当 a ＝ 5 时， y ＝ f （ x ）在点 x ＝ 0 处连续.
定义 4 如果函数 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内每一点都连续，则称函数 f （ x ）在 区间 （ a ， b ） 内 连续 ，或称函数 f （ x ）是（ a ， b ）内的连续函数，记为 f （ x ）∈ C （ a ， b ）.
如果 f （ x ）在区间（ a ， b ）内连续，且在 x ＝ a 处右连续，又在 x ＝ b 处左连续，则称函数 f （ x ）在 闭区间 [ a ， b ] 上连续 ，记为 f （ x ）∈ C [ a ， b ].
函数 y ＝ f （ x ）的连续点全体所构成的区间称为函数的连续区间。在连续区间上，连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.
由连续函数的定义及极限的运算法则，可得出如下结论：
（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）都是连续函数；
（2）连续函数的复合函数仍为连续函数，连续函数的反函数在其对应区间上也是连续的；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.
例 5
求
解
函数
f
（
x
）＝
sin
是初等函数，且在
x
＝ 0 处有定义，所以
例 6
求
arctan
解
因为
u
＝
，当
x
→∞时，
u
→1，而
y
＝ arctan
u
在
u
＝ 1 处连续，故
注：
这表示极限符号
与复合函数的符号
f
可以交换次序.
定义 5 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某个邻域内有定义，如果函数 f （ x ）在点 x 0 处不连续，就称函数 f （ x ）在点 x 0 间断 ， x ＝ x 0 称为函数 y ＝ f （ x ）的 间断点或不连续点 .
由函数 f （ x ）在点 x 0 连续的定义可知， f （ x ）在点 x 0 连续必须同时满足以下 3 个条件：
（1）函数 f （ x ）在点 x 0 有定义（ x 0 ∈ D ）；
（2）
存在；
（3）
＝
f
（
x
0
）.
如果函数 f （ x ）不满足 3 个条件中的任何一个，那么点 x ＝ x 0 就是函数 f （ x ）的一个间断点.
函数的间断点可分为以下几种类型：
（1）如果函数 f （ x） 在点 x 0 处的左、右极限 f （ x 0 －0）与 f （ x 0 ＋0）都存在，则称 x ＝ x 0 为函数 f （ x ）的 第一类间断点 .
如果
f
（
x
）在点
x
0
处的左、右极限存在且相等，即
存在，但不等于该点处的函数值，即
＝
A
≠
f
（
x
0
），或者
存在，但函数在
x
0
处无定义，则称
x
＝
x
0
为函数的
可去
间断点
.
如果 f （ x ）在点 x 0 处的左、右极限存在但不相等，则称 x ＝ x 0 为函数 f （ x ）的 跳跃间断点 .
（2）如果函数 f （ x ）在点 x 0 处的左、右极限 f （ x 0 －0）与 f （ x 0 ＋0）中至少有一个不存在，则称 x ＝ x 0 为函数 f （ x ）的 第二类间断点 .
例7
函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 1 处没有定义，所以
x
＝ 1 是
f
（
x
）的间断点；又因为
＝
（
x
2
＋
x
＋1）＝ 3.所以，
x
＝ 1 为函数
f
（
x
）的可去间断点。若补充定义，令
f
（0）＝ 1，则函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 1 处连续.
例 8 讨论函数
在点 x 0 ＝ 0 处的连续性.
解
由于
2
x
＝ 0，而
f
（0）＝ 1，由定义知函数在点
x
0
＝ 0 处不连续.
x
＝ 0 为函数
f
（
x
）的可去间断点。若修改函数的定义，令
f
（0）＝ 0，则函数
在点 x 0 ＝ 0 处连续，如图 2.11 所示.
图 2.11
由于函数在可去间断点
x
0
处的极限存在，函数在点
x
0
不连续的原因是它的极限不等于该点的函数值
f
（
x
0
），或者是
f
（
x
）在点
x
0
处无定义，所以我们可以补充或改变函数在点
x
0
处的定义，若令
f
（
x
0
）＝
，就能使点
x
0
成为连续点。如在例 6 中可补充定义
f
（1）＝ 3，例 7中可改变函数在
x ＝ 0
处的定义，令
f
（0）＝ 0，则分别使两例中的函数在
x
＝ 1 与
x
＝ 0 处连续.
例 9
讨论函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 0 处的连续性.
解 因为
所以， x ＝ 0 为 f （ x ）的跳跃间断点，如图 2.12 所示.
例 10
函数
f
（
x
）＝
在
x
＝ 1 处无定义，所以
x
＝ 1 为
f
（
x
）的间断点。因为
＝ ∞ ，所以
x
＝ 1 为
f
（
x
）的第二类间断点.
由于
＝ ∞ ，又称
x
＝ 1 为
无穷间断点
.x→1
图 2.12
图 2.13
例 11
函数
f
（
x
）＝ sin
在点
x
＝ 0 处无定义，所以
x
＝ 0 为
f
（
x
）的间断点。当
x
→0 时，
f
（
x
）＝ sin
的值在－1 与 1 之间无限次地振荡，因而不能趋向于某一定值，于是
sin
不存在，所以
x
＝ 0 是
f
（
x
）的第二类间断点（图 2.13）.此时也称
x
＝ 0 为
振荡间断点
.
下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，并给出几何说明.
定理 2（最大值和最小值定理） 设函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续，则在[ a ， b ]上至少存在两点 x 1 ， x 2 ，使得对任何 x ∈[ a ， b ]，都有
f （ x 1 ）≤ f （ x ）≤ f （ x 2 ）.
这里， f （ x 2 ）和 f （ x 1 ）分别称为函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的最大值和最小值（图 2.14）.
注： （1）对于开区间内的连续函数或在闭区间上有间断点的函数，定理的结论不一定成立。例如，函数 y ＝ x 2 在开区间（0，1）内连续，但它在（0，1）内不存在最大值和最小值。又如函数
在闭区间[－1，1]上有间断点 x ＝ 0， f （ x ）在闭区间[－1，1]上也不存在最大值和最小值（图 2.15）.
图 2.14
图 2.15
（2）定理 3 中达到最大值和最小值的点也可能是区间[a，b]的端点，例如，函数y ＝ 2x＋1在[－1，2]上连续，其最大值为f（2）＝ 5；最小值为f（－1）＝ －1.均在区间[－1，2]的端点处取得.
定理 3（介值定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，M和m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则对于满足m≤μ≤M的任何实数μ，至少存在一点ξ∈[a，b]，使得
f（ξ）＝ μ.
定理 4 表明：闭区间[a，b]上的连续函数f（x）可以取遍m与M之间的一切数值，这个性质反映了函数连续变化的特征，其几何意义是：闭区间上的连续曲线y ＝ f（x）与水平直线y ＝ μ（m≤μ≤M）至少有一个交点（图 2.16）.
推论（零点存在定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）＜0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）＝ 0.
x ＝ ξ称为函数y ＝f（x）的零点。由零点存在定理可知，x ＝ ξ为方程f（x）＝ 0 的一个根，且ξ位于开区间（a，b）内，所以利用零点存在定理可以判断方程f（x）＝ 0 在某个开区间内存在实根。故零点存在定理也称为方程实根的存在定理，它的几何意义是：当连续曲线y ＝f（x）的端点A，B在x轴的两侧时，曲线y ＝f（x）与x轴至少有一个交点（图 2.17）.
图 2.16
图 2.17
例 12 证明方程x 4 ＋1 ＝ 5x 2 在区间（0，1）内至少有一个实根.
证 设f（x）＝ x 4 －5x 2 ＋1.因为函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，又有
f（0）＝ 0，f（1）＝ －3，
故
f（0）·f（1）＜ 0.
根据零点存在定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使得f（ξ）＝ 0，即
ξ 4 －5ξ 2 ＋ 1 ＝ 0.
因此，方程x 4 ＋1 ＝ 5x 2 在（0，1）内至少有一个实根ξ.
1.研究下列函数的连续性.
2.求下列函数的间断点，并判断其类型。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续.
3.在下列函数中，当 a 取什么值时函数 f （ x ）在其定义域内连续？
4.求下列函数的极限.
5.证明方程 x 3 －3 x 2 ＋1 ＝ 0 至少有一个小于 1 的正根.