2.5 无穷小的比较

由无穷小的性质可知，两个无穷小的和、差、积仍为无穷小。然而，两个无穷小的商却会出现各种不同的情形。例如，当 x →0 时，函数 x ² ，2 x ，sin x 都是无穷小，但是

这说明 x ² →0 比 2 x →0“快些”，或者反过来说 2 x →0 比 x ² →0“慢些”，而sin x →0 与 2 x →0的“快”“慢”差不多。同一极限过程中的无穷小趋于零的速度并不一定相同，可用两个无穷小比值的极限来衡量这两个无穷小趋于零的速度的快慢。为了反映无穷小趋向于零的快、慢程度，需要引进无穷小的阶的概念.

定义 设 α （ x ）， β （ x ）是同一极限过程中的两个无穷小，即

lim α （ x ）＝ 0，lim β （ x ）＝ 0.

（1）如果lim ＝ 0，则称 α （ x ）是比 β （ x ） 高阶的无穷小 ，记作 α ＝ o （ β ）；

（2）如果lim ＝ ∞ ，则称 α （ x ）是比 β （ x ） 低阶的无穷小 ；

（3）如果lim ＝ C （ C ≠0），则称 α （ x ）与 β （ x ）为 同阶无穷小 ，记作 α ＝ O （ β ）.

特别地，当常数 C ＝ 1 时，称 α （ x ）与 β （ x ）为 等价无穷小 ，记作 α （ x ）～ β （ x ）.

例如，因为 ＝ 0，所以 x ² ＝ o （2 x ）（ x →0）；

因为 ＝ 1，所以sin x ～ x （ x →0）；

因为 ，所以（ x －1）＝ O （ x ² －1）（ x →1）.

例 1 当 x →1 时，将下列各量与无穷小量 x －1 进行比较.

（1） x ³ －3 x ＋2；（2）sin（ x －1）；（3）（ x －1）sin

解 （1）因为 （ x ³ －3 x ＋2）＝ 0，所以 x →1 时， x ³ －3 x ＋2 是无穷小量，又因为

所以 x ³ －3 x ＋2 是比 x －1 较高阶的无穷小量.

（2）因为 sin（ x －1）＝ 0，所以当 x →1 时，sin（ x －1）是无穷小量，又因为

所以sin（ x －1）与 x －1 是等价无穷小.

（3）由 （ x －1）sin ＝ 0 知，当 x → 1 时，（ x －1）sin 是无穷小量，因为 不存在。所以，（ x －1）sin 与x－1 不能比较。等价无穷小可

以简化某些极限的计算，在极限计算中起重要作用，有如下定理.

定理 设 α ， α′ ， β ， β′ 都是同一变化过程中的无穷小，若 α ～ α′ ， β ～ β′ ，且lim 存在，则

以上定理表明，在求极限的 乘除 运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代。常用的等价无穷小量有：

解 如果直接将分子中的tan x ，sin x 替换为 x ，则

这个结果是错误的。正确的解法为

注： 在求极限的加减运算中不能作等价无穷小替换，等价无穷小替换只能用于求极限的乘除运算中.

解 由于 x →0 时， －1～ x ，tan x ～ x ，故

例7 计算

解 注意：当x→0 时，1－ cos x～ ，e ^x 2－1～ x ² ，故

习题 2.5

1.当 x →0 时，2 x － x ² 与 x ² － x ³ 相比，哪个是高阶无穷小量？

2.当 x →1 时，无穷小量 1－ x 与 1－ x ³ ， （1－ x ² ）是否同阶？是否等价？

3.利用等价无穷小，求下列极限. tunO91QshPHPO2EjnoRYh2G1yzjPwBBkPXy7U/tgjj6WNmOvjN43DhCD6DB2vm/4