2.4 极限存在准则与两个重要极限

有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，然后再用其他方法求得。下面介绍几个常用的判定函数极限存在的定理.

2.4.1 极限存在准则

定理 1（夹逼定理） 在自变量的某个变化过程中，若

（1） g （ x ）≤ f （ x ）≤ h （ x ）；

（2）lim g （ x ）＝ A ，lim h （ x ）＝ A ，则lim f （ x ）＝ A .

故由夹逼定理得

在 2.1 节中，已经知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。如果数列有界再加上单调增加或者单调减少的条件，就可以保证其收敛.

定理 2（收敛准则） 单调有界数列必有极限.

2.4.2 两个重要极限

利用上述极限存在准则，可得两个非常重要的极限.

1）

首先证明 ＝ 1.因为x→0 ^＋ ，可设 如图 2.8 所示，其中， 为单位圆弧，且

OA ＝ OB ＝ 1，∠ AOB ＝ x ，则 OC ＝ cos x ，A C ＝ sin x ， DB ＝ tan x ，又△ AOC 的面积＜扇形 OAB 的面积＜△ DOB 的面积，即

cos x sin x ＜ x ＜ tan x .

因为 x ∈ ，则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写成

由 cos x ＝ 1， ＝ 1，运用夹逼定理得

注意 是偶函数，从而有

综上所述，得

以上极限可推广为：在某极限过程中，有lim u （ x ）＝ 0（ u （ x ）≠0），则lim ＝ 1.

解 设 u ＝ 3 x .则当 x →0 时，有 u →0，于是

2）

当 x 连续变化且趋于无穷大时，函数的极限 存在且等于e，即

令 ，则当 x →∞时， t →0，这时上式变为

为了方便地使用上面两个式子，将它们记为下列形式：

（1）在某极限过程中，若lim u （ x） ＝ ∞ ，则

（2）在某极限过程中，若lim u （ x ）＝ 0，则

重要极限 ＝ e或 （1＋ t ） ＝ e也是一种未定式极限。一般地，若lim f （ x ）＝ 1，lim g （ x ）＝ ∞ .则极限lim [ f （ x ）] ^g （ ^x ）称为 1 ^∞ 型未定式.

例 12 已知极限 （1＋ kx ） ＝ e ² （ k 为常数），求常数 k 的值.

解 （1＋ kx ） ＝ （1＋kx） ^· k＝ [ （1＋ kx ） ] ^k ＝ e ^k ，由已知条件有 k ＝ 2.

形如[ f （ x ）] ^g （ ^x ）的函数称为 幂指函数 ，通常利用第二个重要极限来计算幂指函数的极限.

一般地，若lim f （ x ）＝ A （ A ＞0），lim g （ x ）＝ B .则有

lim [ f （ x ）] ^{g （x} ）＝ A ^B .

2.4.3 连续复利

设初始本金为 p （元），年利率为 r ，按复利付息，若一年分 m 次付息，则第 n 年末的本利和为

如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数 m 趋于无穷大时， t 年末的本利和可按如下公式计算

若要 t 年末的本利和为 s ，则初始本金 p ＝ s e－ ^rt .

例 13 一投资者欲用 10 000 元投资 5 年，设年利率为 6％，试分别按单利、复利、每年 4次复利和连续复利付息方式计算，到第 5 年末，求该投资者应得的本利和.

解 按单利计算

S ＝（10 000 ＋ 1 000 × 0.06 × 5）元＝ 13 000 元.

按复利计算

S ＝ 10 000 ×（1 ＋ 0.06） ⁵ ＝ 10 000 元× 1.338 23 ＝ 13 382.3 元.

按每年 4 次复利计算

S ＝ 10 000ç æè1 ＋0.406öø÷ ^4×5 ＝ 10 000 × 1.015 ²⁰ ＝ 10 000 元× 1.346 86 ＝ 13 468.6 元.

按连续复利计算

S ＝ 10 000·e ⁰ . ^06·5 ＝ 10 000·e ⁰ .3 元＝ 13 498.6 元.

注 ：这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为 连续复利 .类似于连续复利问题的数学模型，如细胞分裂、细菌繁殖、树木增长、物体的冷却、放射性元素的衰变等问题.

1.求下列函数的极限. IwjFM31tV2WrKCjJi3hF6rV4N46mQVCKRH8HonDWXcxmOMgkgEyEFihFlaQMn21n

习题 2.4